Xác suất thống kê - Chương 6: Các định lý giới hạn

Chương 6 CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN1. ĐỊNH LÝ 1Cho là các biến ngẫu nhiên độc lập và 	 . Khi đĩ ta cĩ:Nếu các biến ngẫu nhiên	độc lập cùng phân phối với giá trị trung bình  và phương sai 2 thì 2- Bất đẳng thức Chebyshev: Có thể chứng minh được rằng: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán và phương sai hữu hạn thì với mọi số dương  bé tùy ý, ta đều có:P( X  E(X) 0 bé tùy ý cho trước ta luôn có: P(  0 bé tùy ý ta luôn có: = 1Bản chất của định lý Chebyshev Định lý Chebyshev đã chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các đ.l.n.n xung quanh trung bình số học các kỳ vọng toán của các đ.l.n.n ấy.Nhưng nếu ta xét đồng thời một số lớn các đ.l.n.n thì tính “ngẫu nhiên “ của hiện tượng mất đi và qui luật tất nhiên của nó được thể hiện. Những điều kiện trong đó tác động của nhiều nguyên nhân ngẫu nhiên sẽ dẫn đến kết quả gần như không phụ thuộc gì vào các các yếu tố đó được nêu ra trong các định lý có tên là luật số lớn. Như vậy, mặc dù từng đ.l.n.n độc lập có thể nhận giá trị sai khác nhiều so với kỳ vọng toán của chúng, nhưng trung bình số học của một số lớn các đ.l.n.n lại nhận giá trị gần bằng trung bình số học của các kỳ vọng toán của chúng với xác suất rất lớn. Định lý Chebyshev còn là cơ sở cho một phương pháp được áp dụng rộng rãi trong thống kê là phương pháp mẫu mà thực chất là dựa vào một mẫu khá nhỏ ta có thể kết luận về toàn bộ tập hợp các đối tượng cần nghiên cứu.Điều đó cho phép dự đoán giá trị giá trị trung bình số học của đại lượng ngẫu nhiên..Trong thực tế, định lý Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn, trường hợp riêng của nó là cơ sở cho phương pháp đo lường trong vật lý. 3- Định lý Bernoulli: Nếu Fn là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử thì với mọi  dương bé tùy ý, ta luôn luôn có: P( Fn  p  < ) = 1Ý nghĩa: Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử độc lập về xác suất xuất hiện biến cố đó khi số phép thử tăng lên vô hạn. Nó chứng tỏ sự ổn định của tần suất xung quanh giá trị xác suất của biến cố đó. Định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết cho định nghĩa thống kê của xác suất, do đó nó cũng là cơ sở cho mọi áp dụng định nghĩa thống kê của xác suất trong thực tế. 4- Định lý giới hạn trung tâm Giả sử dãy các ĐLNN X1, X2, . . . Độc lập có cùng phân phối với kỳ vọng E(Xi) = , phương sai Var(Xi) = 2 hữu hạn, khác 0 Đặt Zn = X1+X2+ +Xn- nnKhi đó x R ta có: P(Zn < x) =P(Z < x) trong đó Z  N(0, 1) Nói cách khác Zn hội tụ theo phân phối đến ZÝ nghĩa: Định lý giới hạn trung tâm cho thấy dù Xi (rời rạc hay liên tục) có cùng phân phối, thì tổng chuẩn hóa Zn của chúng, khi n đủ lớn, có phân phối xấp xỉ với phân phối chuẩn tắc N(0,1).Từ định lý giới hạn trung tâm ta suy ra một kết quả quan trọng trong thống kê: trường hợp Xi không có phân phối chuẩn, nhưng khi n đủ lớn thì: X = có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn. X1+X2+ +Xnn5. Luật số lớnKhi n  thì trung bình cộng của n ĐLNN độc lập cùng phân bố sẽ hội tụ đến 6. Xấp xỉ phân bố nhị thức bằng phân bố chuẩnGiả sử cĩ ĐLNN X rời rạc cĩ phân bố nhị thức B(n,p). Khi đĩ X cĩ phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với =np và 2=np(1-p) với điều kiện np5 và n(1-p)5