Xac suất thống kê - Chương 7: Ước lượng các số đặc trưng của tổng thể

Các số đặc trưng của tổng thể như trung bình tổng thể, tỷ lệ tổng thể, phương sai của tổng thể, . . . được sử dụng rất nhiều trong phân tích kinh tế - xã hội và các lĩnh vực khác. Chương 7 ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNGCỦA TỔNG THỂ 	Nhưng các số đặc trưng này thường là chưa biết. Vì vậy đặt ra vấn đề cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu. 	Chúng ta có thể nêu vấn đề thực tế đó dưới dạng toán học như sau:	Cho đại lượng ngẫu nhiên X có thể đã biết hoặc chưa biết qui luật phân phối xác suất và chưa biết tham số  nào đó của nó. Hãy ước lượng  bằng phương pháp mẫu.	Bài toán này là một trong những bài toán cơ bản của thống kê toán.Vì  là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng . Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm Ngoài ước lượng điểm, ta còn dùng ước lượng khoảng. Tức là chỉ ra một khoảng số (1, 2) nào đó có thể chứa được .ƯỚC LƯỢNG ĐIỂMCho hàm số	của n giá trị x1, x2, xn được gọi là ước lượng điểm cho . ƯỚC LƯỢNG KHƠNG CHỆCH	Ước lượng Tn được gọi là ước lượng khơng chệch cho  nếu ETn = Ý nghĩa: Khơng chệch theo nghĩa ước lượng Tn khơng cĩ sai số hệ thống.ƯỚC LƯỢNG VỮNGƯớc lượng 	gọi là ước lượng vững của  nếu  > 0 thì Ý nghĩaTính chất vững đảm bảo cho ước lượng gần  tuỳ ý với xác suất cao khi kích thước mẫu đủ lớn. ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢƯớc lượng 	gọi là ước lượng hiệu quả nếu là ước lượng khơng chệch và phương sai D( ) là nhỏ nhất trong lớp tất cả các ước lượng khơng chệch ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giả sử X là ĐLNN cĩ EX= chưa biết,  gọi là giá trị trung bình của tập chính. Giả sử ta cĩ mẫu n quan sát x1, x2, , xnĐịnh lý: Trung bình mẫu là ước lượng khơng chệch cho ƯỚC LƯỢNG CHO PHƯƠNG SAI Giả sử X là ĐLNN cĩ DX=2 chưa biết, 2 gọi là phương sai của tập chính. Giả sử ta cĩ mẫu n quan sát x1, x2, , xnĐịnh lý: phương sai mẫu S*2 là ước lượng khơng chệch cho 2 . S2 là ước lượng điểm của 2 với độ chệch - 2/n S2 và S*2 đều là ước lượng vững cho 2 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ CỦA XÁC SUẤT Ước lượng cho xác suất p của biến cố A (nào đĩ) thì	gọi là ước lượng khơng chệch cho p.	n là số quan sát. (phương pháp ước lượng khoảng)Phương pháp khoảng tin cậy dùng một khoảng số để ước lượng . II- Phương pháp khoảng tin cậyPhương pháp này được nhà toán học Pháp P.S. Laplace ng/c (1841) và được hoàn thiện bởi nhà thống kê Mỹ J. Neyman (1937).1 - Mô tả phương pháp khoảng tin cậyĐể ước lượng tham số  của đ.l.n.n X, từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên WX = (X1, X2, . . . , Xn). Chọn thống kê: = f(X1, X2, . . . , Xn) Sao cho: mặc dù chưa biết giá trị của  nhưng qui luật phân phối xác suất của vẫn hoàn toàn xác định.Do đó với xác suất  khá bé ta có thể tìm được 2 số a, b sao cho: P(a ≤ ≤ b) = 1-  (6.1) Nếu từ biểu thức (6.1) ta giải ra được . Tức ta đưa biểu thức (6.1) về dạng: Thì:Khoảng được gọi là khoảng tin cậy của . Vì , là các ĐLNN nên khoảng là khoảng ngẫu nhiên.1- gọi là độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước lượng. Trong thực tế người ta thường yêu cầu 1-  95% để có thể sử dụng nguyên lý xác suất lớn cho biến cố: gọi là độ dài khoảng tin cậy L có thể là hằng số và cũng có thể là ĐLNN.  = L/2 gọi là độ chính xác của ước lượng khoảng. Do xác suất 1- khá lớn nên theo nguyên lý xác suất lớn ta có thể coi biến cố:Hầu như chắc chắn xảy ra trong một phép thử Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WX, ta sẽ thu được mẫu cụ thể. Từ mẫu cụ thể này ta sẽ tính được giá trị của , Ký hiệu các giá trị đó tương ứng là Như vậy có thể kết luận:Với độ tin cậy 1-, qua mẫu cụ thể Wx,  nằm trong khoảngTức là: Phương pháp này có ưu điểm là: Chẳng những tìm được khoảng để ước lượng  mà còn cho biết độ tin cậy của ước lượng. Tuy nhiên phương pháp này cũng chứa đựng khả năng mắc phải sai lầm. Xác suất mắc phải sai lầm là .2. KHOẢNG TIN CẬY CHO KỲ VỌNGBài tốn: căn cứ trên n quan sát x1, x2, , xn . Hãy xác định 1 khoảng (a, b) chứa tham số  với xác suất  cho trước.2. KHOẢNG TIN CẬY CHO KỲ VỌNG (tiếp)a. Phương sai đã biếtGiả sử X~ N(, 2) trong đĩ 2 đã biết và  chưa biết. Cĩ n quan sát độc lập x1, x2, , xn Với độ tin cậy 1- khoảng tin cậy cho kỳ vọng là:Với 2. KHOẢNG TIN CẬY CHO KỲ VỌNG (tiếp)b. Phương sai chưa biết và n30Ta xấp xỉ Với độ tin cậy 1- khoảng tin cậy cho kỳ vọng là:Với 2. KHOẢNG TIN CẬY CHO KỲ VỌNG (tiếp)c. Phương sai chưa biết và n5 và n(1-p)>53. KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆKhoảng tin cậy cho kỳ vọng: Nếu nf>10 và n(1-f)>10 thì ĐLNN	cĩ phân bố xấp xỉ chuẩn tắc N(0,1). Khoảng tin cậy cho p với độ tin cậy 1- là:4. KHOẢNG TIN CẬY CHO PHƯƠNG SAICho X1, X2, , Xn ~ N(, 2) nên Cĩ phân bố Khi đĩ với độ tin cậy 1 -  thì phương sai DX=2 làVới 5. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪUVới độ tin cậy 1 -  ta thấy nếu n càng lớn thì khoảng tin cậy càng hẹp hay ta hiểu độ chính xác của ước lượng càng cao, sai số càng nhỏBài tốn: Tìm kích thước mẫu tối thiểu là bao nhiêu để đạt được độ chính xác như mong muốn5. XÁC ĐỊNH KÍCH THƯỚC MẪUa. Ước lượng cho trung bình :Muốn ước lượng  với sai số khơng quá  cho trước với độ tin cậy 1- thì: b. Ước lượng cho tỉ lệVới nf>10 và n(1-f)>10HẾT CHƯƠNG