Xac suất thống kê - Chương IV: Một số quy luật phân phối thường gặp

a- Bài toán tổng quát dẫn đến qui luật nhị thứcMỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP I- PHÂN PHỐI NHỊ THỨCª Tiến hành n phép thử độc lập. ª X là số lần A xảy ra trong n phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1, 2. . . . , n X phân phối theo qui luật nhị thức với các tham số : n, p.ª P(A) = p đối với mọi phép thử. Đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật nhị thức với các tham số n và p được ký hiệu là: X  B(n, p)(3.1)b- Công thức tính xác suấtNếu X  B(n, p)Nếu X  B(n, p) và ta cần tính P(X = x) hoặc P(X  x) thì có thể dùng hàm BINOMDIST trong Excel.P(X = x) =BINOMDIST(x, n, p,0)P(X  x) =BINOMDIST(x,n,p,1)Thí dụ: X  B(50; 0,3) Tính P(X = 16) và P(12  X  18)P(X = 16) =BINOMDIST(16,50,0.3,0) = 0,1147P(12  X  18) = P(X  18)  P(X  11) = BINOMDIST(18,50,0.3,1) BINOMDIST(11,50,0.3,1) = 0,7204P{Xx}=Tra ở bảng 1, phân phối nhị thức.P{X=k+1}=p{Xk+1}-p{Xk}Nếu X  B(n, p), thì:c- Các tham số đặc trưng: Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì:   E(X) = npPhương sai: Nếu X  B(n , p) thì:   V(X) = npqGiá trị tin chắc nhất: Nếu XB(n , p) thì:Mod(X) = [np +p]Do Simon Denis Poisson mơ tả năm 1837 Định nghĩa: ĐLNN X được gọi là cĩ phân bố Pốt xơng với tham số  nếu thoả mãn:i) X()={0, 1, 2, , n, } e - hằng số nêpe e = ; e  2,71828 ii) P(X = k) = e- (k = 0, 1, 2, . . .) X có phân phối Poisson với tham số  được ký hiệu là: X  P()Chú ý: Nếu X  P(), để tính P(X = k) hoặc P(X ≤ k) ta có thể dùng hàm POISSON trong EXCELP(X = k) = POISSON(k,,0)P(X ≤ k) = POISSON(k,,1)Thí dụ 1: Cho X  P(1,5), Tính P(X = 5) và P(X ≤ 3) P(X = 5) = POISSON(5,1.5,0) = 0,01412 P(X ≤ 3) = POISSON(3,1.5,1) = 0,934358Hoặc dùng bảng tra Pốt xơng (bảng 2)P{Xk}P{Xk+1}-p{Xk}= p{X=k}Thí dụ 2: Một máy dệt có 500 ống sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạt động là 0,004. Tìm xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt.Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian 1 giờ là một phép thử thì ta có 500 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử biến cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác suất là p = 0,004. Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ thì X ~ B(500; 0,004) Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi nên ta có thể coi X ~ P(2)Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian 1 giờ là: P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 Chú ý: Nếu tính xác suất trên bằng hàm POISSON thì:P(X ≤ 2) = POISSON(2,2,1) = 0,676676Nếu tính xác suất trên bằng hàm BINOMDIST thì:P(X ≤ 2) = BINOMDIST(2,500,0.004,1) = 0,676676b- Các tham số đặc trưng:Có thể chứng minh được rằng: Nếu X  P() thì: E(X) = V(X) =  Mod(X)=[ ]c- Định lý:Nếu X  P() , Y~p(’), X và Y độc lập thì: Z= X+Y ~p(’)Phân phối Poisson thường áp dụng trong trường hợp: Xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) khi n khá lớn và p khá nhỏ (thường gặp là n  100 và np  5)Xét biến cố E xuất hiện ở những thời điểm ngẫn nhiên. Giả thiết rằng:Số lần xuất hiện E trong khoảng thời gian (t1, t2) khơng ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của E trong khoảng thời gian kếCường độ xuất hiện E là khơng đổi Gọi X là số lần xuất hiện trong khoảng thời gian (t1, t2) thì X~p() với =c(t2 - t1)c là cường độ E xuất hiệnThí dụ: Một bệnh viện lớn cĩ 2000 bệnh nhân. Qua thống kê cho biết tỷ lệ bệnh nhân cần trợ giúp bằng thiết bị đặc biệt trong một ngày là 0,075%. Bệnh viện này chỉ cĩ 3 thiết bị đặc biệt. Tính xác suất để trong một ngày khơng cĩ quá 3 bệnh nhân cần trợ giúp bằng thiết bị đặc biệt.a- Bài toán tổng quát dẫn đến qui luật siêu bộiTừ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A) lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử. III – QUY LUẬT SIÊU BỘIGọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử lấy ra, X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị trong khoảng [n1, n2] n1= max{0, n-N+M} n2= min{n, M}X phân phối theo qui luật siêu bội với các tham số: N, M, n.Đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật siêu bội với các tham số N, M, n được ký hiệu là: X  H(N, M, n)Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại A) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm lấy ra. X có phân phối siêu bội với các giá trị có thể nhận là: 2, 3, 4, 5. P(X = x) = (3.12)Max0, M+n-N  x  Min n, MNếu X  H(N, M, n)b- Công thức tính xác suất Nếu X  H (N, M, n), để tính P(X = x) có thể dùng hàm HYPGEOMDIST trong Excel. P(X = x) =HYPGEOMDIST(x,n,M,N)3- Các tham số đặc trưng Nếu X  H (N, M, n) thì:  E(X) = np (với p = ) V(X) = npq (với q = 1-p) MNN-nN-1Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất bé so với N thì ta có thể coi X  B(n, p) với p = MNCông thức xấp xỉ:Thí dụ: Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra. Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra ?Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra. X  H(1000, 800, 10). Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi X  B(n, p), với n = 10 và p = 0,8Xác suất cần tìm là P(X  8). P(X = 8) = = 0,30199 P(X = 9) = = 0,268435 P(X = 10) = = 0,107374P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 0,6778Chú ý: Ngoài cách tính trên, ta có thể dùng hàm HYPGEOMDIST để tính xác suất trên. P(X = 8) = HYPGEOMDIST(8,10,800,1000) = 0,30351P(X = 9) = HYPGEOMDIST(9,10,800,1000) = 0,268431P(X = 10) =HYPGEOMDIST(10,10,800,1000) = 0,106164P(X  8) = 0,30351+ 0,268431+ 0,106164 = 0,678105a- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng ( được gọi là phân phối theo qui luật chuẩn tắc nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:IV- QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN TẮCf(x) = Đồ thị của hàm f(x) cũng có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung. (hình vẽ)Ký hiệu: X~N(0;1)f(x) x01-1Hàm phân bố của X : Dùng bảng phân phối chuẩn tắc (Chỉ tra cho x>0)1. 2.3.4. Cách tính xác suất trong phân phối chuẩn tắcĐịnh lý: Nếu X cĩ phân bố chuẩn tắc thì EX= 0, DX=1, ModX=0 và MedX =0Chú ý: Gọi u() là số sao cho p(X>u())=.Khi đĩ u() được gọi là phân vị trên mức  của phân phối chuẩn tắc.PHÂN PHỐI CHUẨN ĐN: ĐLNN X được gọi là cĩ phân phối chuẩn với tham số  và 2 , ký hiệu X~N(, 2) nếu Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối GaussCác tham số đặc trưng - Kỳ vọng toán: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên thì : E(X) =  - Phương sai: Các công thức tính xác suất:ª Nếu X  N(, 2) thì : P(x1  X  x2) =    ª Nếu X  N(, 2) thì : * Chú ý: Nếu X  N( 2), để tính P(X 0 nếu X cĩ hàm mật độ: PHÂN PHỐI MŨHay gặp khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra biến cố.Qui luật 2 ”Khi-bình phương”Giả sử Xi (i = 1, 2, . . . , n) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối theo qui luật chuẩn tắc. Xét đại lượng ngẫu nhiên: 2 = Đại lượng ngẫu nhiên 2 phân phối theo qui luật ”khi bình phương” với n bậc tự do.Qui luật “chi bình phương” với n bậc tự do được ký hiệu là: 2(n) Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 có dạng: fn(x) = Trong đó: (x) = (hàm gama) Nếu đại lượng ngẫu nhiên 2 phân phối theo qui luật 2(n) ký hiệu là 2  2(n), thì : E(2) = n V(2) = 2nCÁCH TRA BẢNG CỦA KHI BÌNH PHƯƠNGPhân vị trên mức  của phân phối khi bình phương với n bậc tự do Qui luật StudentNếu Z là đ.l.n.n phân phối theo qui luật chuẩn tắc và V là đ.l.n.n độc lập với Z, phân phối theo qui luật “khi bình phương” với n bậc tự do.Khi đó đại lượng ngẫu nhiên:T = sẽ phân phối theo qui luật Student với n bậc tự do.Hàm mật độ xác suất của đ.l.n.n T phân phối theo qui luật Student với n bậc tự do có dạng:fn(t) = Trong đó: ( 30 ta có thể dùng phân phối chuẩn tắc thay cho phân phối Student.CÁCH TRA BẢNG CỦA STUDENTPhân vị trên mức  của phân phối khi bình phương với k bậc tự do