225 Đề thi HSG Toán 7 - Năm học 2016-2017 - PGD Thiệu Hóa (Có đáp án)

 PHÒNG GD & ĐT THIỆU HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
 Năm học 2016-2017 
 Đề chính thức Môn: TOÁN 
Câu 1. (4,0 điểm) Tính hợp lý 
 7 184519 787312
ab)).. 
 25 25 23 7 23 19 11 19 11 19
 7 10 7 9 2
cd) 25 .125.4. 8 . 17 ) . . 
 35 19 35 19 35
Câu 2. (3,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 
 1 1 1 1 1 
aA. . 1 1 1 ..... 1 
 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 
 1
b. B 2 x2 3 x 5với x 
 2
 0
 3 2 2 2 2015
c. C 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy , biết xy 0 
 2016
Câu 3. (4,0 điểm) 
 2
 1
 1. Tìm xy, biết : 2xy 3 12 0 
 6
 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z
 2. Tìm x,, y z biết: và x y z 18 
 4 3 2
Câu 4. (3,0 điểm) 
 1. Tìm các số nguyên xy, biết: x 2 xy y 3 0 
 2. Cho đa thức f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 .... 101 x 101. 
 Tính f 100 
Câu 5. (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC .Vẽ về phía ngoài tam giác 
ABC các tam giác đều ABD và ACE.Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của 
AB và DC 
 a) Chứng minh rằng ADC ABE 
 b) Chứng minh rằng DIB 600 
 c) Gọi MN, lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN
 đều 
 d) Chứng minh rằng IAlà phân giác của DIE 
Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại Acó AB 3 cm , AC 4 cm .Điểm I nằm trong 
tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác ABC.Gọi M là chân đường vuông góc 
kẻ từ I đến BC. Tính MB . 
 ĐÁP ÁN 
Câu 1. 
 7 184519 7 18 419 5
 a) 
 25 25 23 7 23 25 25 23 23 7
 55
 11 
 77
 78 7312 7 8 3 12 7 12
 b) . . . .1 1 
 19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19
 c) 25 .125.4. 8 . 17 25 .4.125. 8 . 17 
 100 . 1000 . 17 1700000
 71079 7109 2 7 21
 d)... 
 35 19 35 19 35 19 19 35 35 35 7
Câu 2. 
 1 1 1 1 1 
 aA) . 1 1 1 ..... 1 
 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 
 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 
 . . . . . ....... . 
 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 
 1 2 2 3 3 4 4 2016 2016 2016
 . . . . . . ....... . 
 2 1 3 2 4 3 5 2015 2017 2017
 2
 1 1 1
 xB 2. 3. 5 4
 1 2 2 2
b) Vì x 
 2
 2 1 1 1 
 xB 2. 3. 5 7
 2 2 2 
 0
 3 2 2 2 2015
c) C 2 x 2 y 13 xyxy 15 yxxy 
 2016
 2(x y ) 13 x32 y x y 15 xy x y 1 1(vì xy 0) 
Câu 3. 
 2
 1
1)Vì 20x với mọi xy; 3 12 0 y,do đó: 
 6
 2
 1
 2x 3 y 12 0  x , y , theo đề bài thì: 
 6
 22
 11 
 2x 3 y 12 0 2 x 3 y 12 0 . Khi đó: 
 66 
 1 1
 20x x 
 6 12 
 3y 12 0 y 4
 3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z
2) Ta có: . Suy ra 
 4 3 2
4 3x 2 y 3 2 x 4 x 2 4 y 3 z 12x 8 y 6 z 12 x 8 y 6 z
 0. Do đó: 
 16 9 4 29
32x y x y
 0 3xy 2 (1) 
 4 2 3
24z x x z
 0 2zx 4 (2) 
 3 2 4
 x y z
Từ (1) và (2) suy ra . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 2 3 4
x y z x y z 18
 2 x 4; y 6; z 8 
2 3 4 2 3 4 9
Câu 4. 
 1. Ta có: x 2 xy y 3 0 2x 4 xy 2 y 6 0 2 x 4 xy 2 y 1 5
 212x y 12 y 5 2112 x y 5
Lập bảng 
 21x 1 5 -1 -5 
 12 y 5 1 -5 -1 
 x 1 3 0 -2 
 y -2 0 3 1 
 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 
 2. Ta có: 
f x x10 101 x 9 101 x 8 101 x 7 ...... 101 x 101
 x10 100 x 9 x 9 100 x 8 x 8 100 x 7 x 7 ...... 101 x 101 
 x9. x 100 x 8 x 100 x 7 x 100 ...... x x 100 x 101 
Vậy f 100 1 
Câu 5. 
 E
 A
 D
 J N
 K
 IM
 B
 C
 a) Ta có AD AB, DAC BAE và AC AE ADC ABE(..) c g c 
 b) Từ ADC ABE (câu a) ABE ADC,mà BKI AKD(đối đỉnh) 
 Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK600 ( dfcm ) 
 c) Từ ADC ABE (câu a) CM EN, ACM AEN 
 ACM AEN(..) c g c AM AN và CAM EAN 
 MAN CAE 600 .Do đó AMN đều 
 d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ JB BIJ đều 
 BJ BI và JBI DBA 600 IBA JBD ,kết hợp BA BD 
 IBA JBD c. g . c AIB DJB 1200 mà BID 600 
 DIA 600 IAlà phân giác của DIE 
Câu 6. 
 A
 E
 D
 I
 C
 B M
Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3 đường phân giác 
trong tam giác ABC 
Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC 5 cm 
Chứng minh được CEI CMI CE CM 
Chứng minh tương tự : AE AD, BD BM 
Suy ra MB BC AB AC :2 2 
Phòng GD & ĐT Thăng Bình ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 ĐỀ CHÍNH Năm học 2018-2019 - Môn: Toán 7 
 Thời gian: 90 phút 
 Đề thi có 02 trang 
 -----***---- 
 I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) 
 Câu 1: Giá trị của x trong biểu thức ( x - 1 )2 = 0,25 là: 
 91 19 91 91
 A. ; B. ; C. ; D. ; 
 44 44 44 44
 Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm trên Oy. Qua A vẽ tia Am. Để Am song 
 song với Ox thì số đo của góc OAm là: 
 A. 500 B. 1300 C. 500 và 1300 D. 800 
 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x > 1. Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) và 
 f(1) = 1. Giá trị của f(4) là: 
 A. 3 B. 5 C. 6 D. 1 
 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 6 , Â = 300. Phân giác góc C cắt AB 
 tại D. Khi đó độ dài đoạn thẳng BD và AD lần lượt là: 
 A.2; 4 B. 3; 3 C. 4; 2 D. 1; 5 
 Câu 5: Cho a2m = - 4. Kết quả của 2a6m - 5 là: 
 A. -123 B. -133 C. 123 D. -128 
 Câu 6: Cho tam giác DEF có  E = F. Tia phân giác của góc D cắt EF tại I . 
 Ta có: 
 A. ∆ DIE = ∆ DIF B. DE = DF , IDE = IDF 
 C. IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C đều đúng
 Câu 7: Biết a + b = 9. Kết quả của phép tính 0,a ( b ) 0, b ( a ) là: A. 2 B. 1 C, 0,5 D. 1,5 
Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36. Giá trị lớn nhất của x = a.b là: 
A. 6 B. - 6 C. 7 D. 5 
Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN. Biết AC > AB. Khi đó 
độ dài hai đoạn thẳng BM và CN là: 
A. BM ≤ CN B. BM > CN C. BM < CN D. BM = CN 
Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x là : 
A. M ( - 1; -2 ) B. N ( 1; 2 ) C. P ( 0 ; -2 ) D. Q ( -1; 2 ) 
Câu 11: Biết rằng lãi suất hàng năm của tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm là 
một hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p . Nếu tiền gửi là 175000 thì tiền lãi sẽ là: 
A. 8850 đ B. 8750 đ C. 7850 đ D.7750 đ 
Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 
AD = BC. Số đo của góc BDC là: 
A. 500 B. 700 C. 300 D. 800 
II. Phần tự luận (14 điểm) 
Câu 1.(3 điểm) 
A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 
B, Cho tích a.b là số chính phương và (a,b) = 1. Chứng minh rằng a và b đều là số 
chính phương. 
Câu 2.(4 điểm) 
2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) 
Tính giá trị của A khi x = 4. Tìm x để A = 2015 
2.2 Học sinh khối 7 của một trường gồm 3 lớp tham gia trồng cây. Lớp 7A trồng 
toàn bộ 32,5% số cây. Biết số cây lớp 7B và 7C trồng được theo tỉ lệ 1,5 và 1,2. 
Hỏi số cây cả 3 lớp trồng được là bao nhiêu, biết số cây của lớp 7A trồng được ít 
hơn số cây của lớp 7B trồng được là 120 cây. 
Câu 3.(5 điểm) 
 1. Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ 
hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 
900. 
 a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD. 
 AB2
 b) Chứng minh rằng: AC. BD 
 4
2. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng: 
 2
HA + HB + HC < ()AB AC BC 
 3
Câu 4.(2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của A, biết : 
A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 
 ------- Hết ------- 
 Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay 
 Họ và tên học sinh:........................................................... SBD:......... 
 Phòng GD & ĐT Lâm Thao ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
 Năm học 2016 – 2017 - Môn: Toán 7 
 ĐỀ CHÍNH 
 Thời gian: 90 phút 
 Đề thi có 02 trang 
 -----***---- 
 I. Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) 
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 Đ. A C C A B D B A C D B C 
 án 
 II. Phần tự luận (14 điểm) 
Câu Nội dung chính Điểm 
1(4 M = 75.(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25 
điểm) 
 = 25.(4- 1)(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25 0,25 
 = 25.[4(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+... + 42 +4 + 1)] + 25 0,25 
 = 25.(42018+ 42017+... + 42 +4) - 25(42017+ 42016+... + 42 +4 + 1) + 25 0,25 
 = 25.42018 – 25 + 25 0,25 
 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 0,25 
 Vậy M 102 0,25 B, Đặt a.b = c2 (1) 
 Gọi (a,c) = d nên a d, c d 0,25 
 Hay a = m.d và c = n.d với (m,n) = 1 
 Thay vào (1) ta được m.d.b = n2 . d2 0,25 
 => m.b = n2. d => b n2 vì (a,b) = 1= (b,d) 0,5 
 Và n2 b => b = n2 
 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm 0,5 
2(4 1. Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 
 2
điểm) = x – 4x + 2015 
 A, Với x = 4 ta được A = 2015 
 2 x 0
 B, A = 2015 => x – 4x = 0 => x(x - 4) = 0  
 x 4
 2. Gọi số cây ba lớp trồng lần lượt là a, b, c ( cây, a,b,c N*) 
 Theo đề bài ta có b : c = 1,5: 1,2 và b – a = 120 
 a = 32,5%( a + b + c) 
 Vậy cả 3 lớp trồng được số cây là 2400 cây 
3(5 
điểm) 
 A, Vẽ tia CO cắt tia đối của tia By tại điểm E. 
Chứng minh AOC BOE g c g AC BE; CO EO 
Chứng minh DOC DOE c g c CD ED 
Mà ED EB BD AC BD . 
Từ đó : CD AC BD (đpcm) 
B, Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông BOE và BOD ta 
có: 
 2 2 2
 OE OB EB 2 2 2 2 2 
 OE OD 2 OB EB DB 
 2 2 2
 OD OB DB
 2 2 2
Mà OE OD DE ; Nên 0,25 
 2 2 2 2
DE 2 OB EB DB 
 2OB2 EB . DE BD DB .( DE BE )
 0,25 
 2OB2 EB . DE EB . BD DB . DE DB . BE
 2OB2 EB . DE DB . DE 2 BD . BE 0,25 
 2OB2 DE . EB DB 2 BD . BE 0,25 
 22
 2OB DE 2 BD . BE 
Suy ra 2OB22 2 BD . BE 0 BD . BE OB 
 AB
Mà BE AC; OB . 
 2
 2 0,25 
 AB AB2
Vậy AC. BD (đpcm) 
 24 
2. 
Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC tại D, kẻ đường thẳng // với 
AC cắt AB tại E 
Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)  AD = HE; AE = HD 
 Δ AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) 
 0,5 
 Từ đó HE  BH 
 ΔHBE vuông nên HB < BE (2) 
 Tương tự ta có HC < DC (3) 
 2
 Từ 1,2,3 HA() AB+ HB AC + HC BC < AB + AC (4) 
 3 
 Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) 
 0,25 
 HA + HB + HC < BC + AC (6) 
Từ đó suy ra HA + HB + HC < đpcm 
 0,25 
 0,25 
 0,25 
 0,25 
 0,25 
 0,25 
 4(2 Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| 0 và | xy + yz + zx - 2000| 0 
điểm) 
 Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| 0 
 Mà A = 0 khi và chỉ khi 
 |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = 0 
 xy
 Có: |7x – 5y| = 0  7x = 5y  
 57
 xz
 |2z – 3x| = 0  
 23
 |xy + yz + zx - 2000| = 0  xy + yz + zx = 2000 
 x 20; y 28; z 30
 Từ đó tìm được 
 x 20; y 28; z 30
 A 0, mà A = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) 
 Vậy MinA = 0  (x,y,z) = (20;28;30) hoặc (x,y,z)= (-20;-28;-30) 
 Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 
 PHÒNG GD-ĐT ĐƯC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 
 MÔN TOÁN LỚP 7 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
 Câu 1. Tìm giá tri n nguyên dương 
 1
 a) .81nn 3 b) 8 2n 64 
 27
 Câu 2. Thực hiện phép tính: 
 1 1 1 1 4 3 5 7 ..... 49
 ..... . 
 8 8.15 15.22 43.50 217
 Câu 3. Tìm các cặp số xy; biết: xy
a) và xy 405 
 59
 1 5y 1 7 y 1 9 y
b) 
 24 7xx 2
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a) A x 5 5 
 x2 17
bB) 
 x2 7
Câu 5. Cho tam giác ABC( CA CB ), trên BC lấy các điểm M và N sao cho 
BM MN NC . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I 
 a) Chứng minh I là trung điểm của AN 
 b) Qua K là trung điểm của AB kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác 
 góc ACB cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng BC tại F. Chứng minh 
 AE BF 
 ĐÁP ÁN 
Câu 1. 
 1
a) .81n 3 n 343 n 3 n 4 n 3 n n 1
 27 
b)8264222 nn 36 n 4, n 5
Câu 2. 1xy 1 1 1 4 3 5 7 .... 49
 a) xy 405 ..... .
 1.859 8.15 15.22 43.50 217
 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 3 5 7 ..... 49 
 . 1 ..... . 
 7 8 8 15 15 22 43 50 217
 1 15 12.50 25 1 49 5 625 7.7.2.2.5.31 2
 . 1 . . . 
 7 50 217 7 50 7.31 7.2.5.5.7.31 5
Câu 3. 
 x22 y xy 405
 và 9 
 25 81 5.9 45
 xx22 9.25 15 15
 yy22 9.81 27 27
Do xy, cùng dấu nên x 15, y 27 & x 15, y 27 
b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
1517191917 y y y y y 2 y 1715 y y 2 y
 24 7x 2 x 27 x x 5 x 724 x 724 x 
 22yy
 5x 7 x 24 x 2
 5xx 7 24
Thay x 2vào trên ta được: 
1 5yy 5
 5y 25 y 24 y 49 y 5 y 
 24 5 49
 5
Vậy xy 2, thỏa mãn đề bài 
 49
Câu 4. 
 a) Ta có: x 50. Dấu "" xảy ra xA 55 
 Vậy MinA 55 x 
 xx22 17 7 10 10
 b) B 1 
 x2 7 x 2 7 x 2 7
Ta có: x2 0 , Dấu "" xảy ra xx 0 2 7 7 10 10 10 10 17
 11 B , dấu "" xảy ra x 0 
 xx22 7 7 7 7 7
 17
Vậy MaxB x 0 
 7
Câu 5. 
 A
 P
 E
 K
 I
F
 B
 M
 N
 C
 a) Từ I kẻ đường thẳng //BC cắt AB tại H. Nối MH 
 Ta có: BHM IMH vì: BHM IMH; BMH IHM ( slt ); HM .... chung 
 BM IH MN 
 AHI IMN vì: IH MN( cmt ); AHI IMN ABC ; AIH INM (đồng vị) 
 AI IN() dfcm 
 b) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại P. PKA FKB vì: 
PKA FKB(đối đỉnh); APK BFK (so le trong); AK KB AP BF(1) 
EPA KFC (đồng vị); CEF KFC ( CFE cân) EPA CEF APE cân AP AK 2 
Từ (1) và (2) suy ra AE BF() dfcm 
 TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
 GIAO TÂN NĂM HỌC 2016-2017 
 Môn: TOÁN 7 
Bài 1. (4 điểm) 
 1 1 1 1 1 1
 1. Rút gọn A ..... 
 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
 2. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 
 2.22 3.2 3 4.2 4 ..... nn 1 2n 1 .2 n 2 n 34 
Bài 2. (5 điểm) 
 xy yz zx x2 y 2 z 2
 1. Tìm các số x,, y z biết: 
 2y 4 x 4 z 6 y 6 z 2 x 22 4 2 6 2
 2. Chứng minh rằng không thể tìm được số nguyên x,, y z thỏa mãn : 
 x y y z z x 2017 
Bài 3. (3 điểm) 
 Chứng minh rằng: 2 22 2 3 2 4 2 5 ...... 2 99 2 100 chia hết cho 31 
Bài 4. (3 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2 x 5 y 22 15 y 6 x xy 90 
Bài 5. (5 điểm) 
 Cho ABC có 3 góc nhọn, AB AC BC.Các tia phân giác của góc Avà 
góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O 
trên AC.Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI AH.Gọi K là giao điểm của FH
và AI. 
 a) Chứng minh FCH cân b) Chứng minh AK KI 
c) Chứng minh 3 điểm BOK,, thẳng hàng. 
 ĐÁP ÁN 
Bài 1. 
 1 1 1 1 1 1
 1.1)A ..... 
 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
 1 1 1 1 1 1
 A ..... 
 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
 1 1 1 1 1 1
 A ..... 
 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 A 1 ..... 
 100 2 2 3 97 98 98 99 99 100 
 1 1 49
 A 1 
 1002 100 3 4 50 n 1 n n 34
 2.2 3.2 4.2 ..... nn 1 2 .2 2
1.2) (1) 
 B 2.22 3.2 3 4.2 4 ....... n 1 .2nn 1 n .2
 2B 2. 2.22 3.2 3 4.2 4 ....... n 1 .2nn 1 n .2 
 2B 2.23 3.2 4 4.2 5 ..... n 1 2nn n .2 1
Đặt 2B B 2.23 3.2 4 4.2 5 ..... n 1 2nn n .2 1 
 2.22 3.2 3 4.2 4 ....... nn 1 .2nn 1 .2 
 B 2234 25 ........ 2nn n .2 1 2.2 2
 23 2 4 2 5 ....... 2nn n .2 1 2 3
 C 2345 2 2 ...... 2n
 2C 2. 23 2 4 2 5 ...... 2nn 2 4 2 5 2 6 .... 2 1
Đặt 
 2CC 24 2 5 2 6 .... 2nn 1 2 3 2 4 2 5 ...... 2 
 C 22n 13
Khi đó Bn 2nn 1 2 3 .2 1 2 3 
 2n 1 2 3 n .2 n 1 2 3 2 n 1 n .2 n 1 n 1.2 n 1 
Vậy từ (1) ta có: n 1 2nn 1 2 34