Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số

BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. y = f (x) đồng biến / (a, b) Û ¦¢(x) ³ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b).
2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) Û ¦¢(x) £ 0 "xÎ(a, b) đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b).
Chú ý: Trong chương trình phổ thông, khi sử dụng 1., 2. cho các hàm số một quy tắc có thể bỏ điều kiện ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î (a, b).
CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Tìm m để nghịch biến trên [1, +¥)
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, +¥) Û 
Û Û . Ta có: 
Þ u(x) đồng biến trên [1, +¥) Þ 
Tìm m để đồng biến trên (0, 3)
Giải. Hàm số tăng trên (0,3) Û (1)
Do liên tục tại x = 0 và x = 3 nên (1) Û y¢ ³ 0 "xÎ[0, 3] 
Û Û 
. Ta có: 
Þ g(x) đồng biến trên [0, 3] Þ 
Tìm m để đồng biến trên 
Giải: Hàm số tăng / Û (1)
Û Û 
x
2
_
0
+
CT
0
Ta có: 
; 
Từ BBT Þ . 
Bài 4. đồng biến /
Giải: Hàm số tăng trên 
Ta có nên có 2 nghiệm 
BPT g(x) ³ 0 có sơ đồ miền nghiệm G là: 
Ta có đúng Û 
Bài 5. Tìm m để đồng biến trên 
Giải: Hàm số đồng biến trên Û 
Û 
 Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2
Ta có: suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm . 
BPT g(x) ³ 0 có sơ đồ miền nghiệm G là: 
Ta có g(x) ³ 0 đúng "xÎ(1, +¥) Û 
Cách 2: Phương pháp hàm số
Ta có: g¢(x) = 4(x - m) ³ 4(x - 1) > 0 "x > 1 Þ g(x) đồng biến trên [1, +¥)
Do đó 
Bài 6. Tìm m để giảm 
Giải: Yêu cầu bài toán 
. Do đồ thị là một đoạn thẳng nên ycbt 
Bài 7. Tìm m để hàm số tăng với mọi 
Giải: Yêu cầu bài toán 
Û 
, với 
Ta có 
Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán Û . 
Bài 8. Cho hàm số . 
Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4
Giải. Xét . Do nên có 2 nghiệm . Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4 và . Ta có 
 kết hợp với suy ra 
B. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. DẠNG 1: ỨNG DỤNG TRONG PT, BPT, HỆ PT, HỆ BPT
Giải phương trình: .
Giải. Điều kiện: . Đặt . 
Ta có: Þ f (x) đồng biến trên . 
Mặt khác f (-1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = -1.
Giải phương trình: 
Giải. Bất phương trình Û = 0 (1). 
+ Nếu thì f (x) < 0 Þ (1) vô nghiệm.
+ Nếu thì 
Þ f (x) đồng biến trên mà f (1) = 0 nên (1) có đúng 1 nghiệm x = 1
Giải bất phương trình: (*)
Giải. Điều kiện . Đặt 
Ta có: 
Þ f (x) đồng biến trên . Mà f (3) = 8 nên (*) Û f (x) < f (3) Û x < 3. 
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Giải PT: (*)
Giải. (*) 
Ta có f (x) đồng biến và g¢(x) = -6x2 + 10x - 7 < 0 "x Þ g(x) nghịch biến.
Nghiệm của f (x) = g(x) là hoành độ giao điểm của .
Do f (x) tăng; g(x) giảm và nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1.
Tìm số m Max để (*)
Giải. Đặt Þ Þ , khi đó (*) Û 
Û Û . Do 
nên f (t) đồng biến / Þ Þ Þ 
Giải phương trình 
 (*)
Xét . Ta có . Suy ra đồng biến. (*) 
Bài 7. Tìm thỏa mãn hệ 
Giải. . 
Xét hàm số đặc trưng . Ta có . 
Suy ra đồng biến trên . Khi đó 
Bài 8. Giải hệ phương trình (*). 
Giải. Xét với Þ Þ f (t) tăng. 
Không mất tính tổng quát giả sử x £ y £ z 
Þ Þ Þ x = y = z = ± 1
Bài 9. Giải hệ bất phương trình 
Giải. . Đặt . Ta có:
 Þ giảm và 
II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh rằng: "x > 0 
Giải Ÿ "x > 0 Û "x > 0 
Ta có Þ Þ "x > 0
Þ đồng biến [0, +¥) Þ "x > 0 
Þ đồng biến [0, +¥) Þ = 0 "x > 0
Þ đồng biến [0, +¥) Þ f(x) > f(0) = 0 "x > 0 Þ (đpcm)
Ÿ "x > 0 Û g(x) = "x > 0
Ta có g¢(x) = Þ g¢¢(x) = = f(x) > 0 "x > 0
Þ g¢(x) đồng biến [0, +¥) Þ g¢(x) > g¢(0) = 0 "x > 0
Þ g(x) đồng biến [0, +¥) Þ g(x) > g (0) = 0 "x > 0 Þ (đpcm)
Bài 2. Chứng minh rằng: 
Giải. "xÎ . Xét biểu thức đạo hàm , ở đây kí hiệu g(x) = x cosx - sinx
Ta có g¢(x) = cosx - xsinx - cosx = - xsinx < 0 "xÎ 
Þ g(x) giảm trên Þ g(x) < g(0) = 0 
Þ "xÎÞ f (x) giảm trên 
Þ Û 
Bài 3. Chứng minh rằng: "x > y > 0
Giải. Do x > y > 0, lnx > lny Û lnx - lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức 
Û Û với >1
Û "t >1. Ta có "t >1 
Þ f(t) đồng biến [1, +¥) Þ f(t) > f(1) = 0 "t >1 Þ (đpcm)
Bài 4. Chứng minh rằng: (1)
Giải. Xét hai khả năng sau đây:
+ Nếu y > x thì (1) Û Û 
+ Nếu y < x thì (1) Û Û 
Xét hàm đặc trưng f(t) = với tÎ(0, 1). 
Ta có "tÎ(0,1) Þ f(t) đồng biến (0, 1) 
Þ f(y) > f(x) nếu y > x và f(y) < f(x) nếu y < x Þ (đpcm)
Bài 5. Chứng minh rằng: "a > b ³ e 
Giải. ab < ba Û lnab < lnba Û blna < alnb Û . 
Xét hàm đặc trưng f(x) = "x ³ e. 
Ta có Þ f(x) nghịch biến [e, +¥) 
Þ f(a) < f(b) Û Û ab < ba 
Bài 6. (Đề TSĐH khối D, 2007) 
Chứng minh rằng 
Giải. Biến đổi bất đẳng thức 
. 
Xét hàm số đặc trưng cho hai vế với . Ta có giảm trên
Bài 7. (Bất đẳng thức Nesbitt) 
Chứng minh rằng: "a, b, c > 0 (1)
Giải. Không mất tính tổng quát, giả sử a ³ b ³ c. Đặt x = a Þ x ³ b ³ c > 0. 
Ta có (1) Û f (x) = với x ³ b ³ c > 0
Þ 
Þ f(x) đồng biến [b, +¥) Þ (2)
Đặt x = b Þ x ³ c > 0, xét hàm số g(x) = với x ³ c > 0
Þ "c > 0 Þ g(x) đồng biến [c, +¥) Þ (3) 
Từ (2), (3) suy ra "a, b, c > 0 
Bình luận: Bất đẳng thức Nesbitt ra đời năm 1905 và là một bất đẳng thức rất nổi tiếng trong suốt thế kỷ 20. Trên đây là một cách chứng minh bất đẳng thức này trong 45 cách chứng minh. Bạn đọc có thể xem tham khảo đầy đủ các cách chứng minh trong cuốn sách: “Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học” của tác giả do NXB Tri thức phát hành tháng 3/2009.