Bài giảng Bất đẳng thức và áp dụng - Chương 1: Bất đẳng thức cauchy

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNGBÀI GIẢNG ĐIỆN TỬGS.TSKH. Nguyễn Văn MậuHà Nội, 2006Chương 1 Bất đẳng thức CauchyTừ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc hai => thiết lập và chứng minh BĐT CauchyChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG TAM THỨC BẬC HAITại Việt Nam và các nước Đông Âu:BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân BĐT CauchyBĐT CauchyBunhiacovski,Cauchy - Bunhiacovskihoặc Cauchy - SchwarzTheo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên. Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGXét hai số dương a, bNếu tổng a + b = const  a.b đạt max khi a = b Nếu tích a.b = const  (a+b) đạt min khi a = b Hai nhận xét trên tương đương với:Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGVới mọi bộ số ta luôn có bất đẳng thức sauBất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn ®­îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz). Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳngcó thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc để có bất đẳng thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạngSao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi Thay vào (1.9), ta nhận được tức là (1.9) có dạngChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNGĐây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiTrong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:-Tịnh tiến- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳngcó thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc 	 để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực đã cho như là phần thực của một số phức Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụngChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC Định lý 1. Với mọi bộ số ta luôn có đẳng thức sauChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGĐịnh lý 2. Với mọi bộ số phức ta luôn có đẳng thức sauHệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức ta luôn có bất đẳng thức sauGiả sử ta có bộ các cặp số dương sao choChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thìhayTừ đây suy raChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGTheo bất đẳng thức Cauchy, thìVậy nên Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGVD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).Tuy nhiên x, y là nguyên dương  điều này không xảy ra.Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không thực hiện được  Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức đối mặt với một số bài toán thực tế. Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYVD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh.Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z  phải lựa chọn các phương thức đặc biệt  thêm bớt các hệ số. Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGĐộ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểmTừ bất đẳng thứcTa suy ra với mọi cặp số không âm với tổng bằng 1 cho trước thì tích đạt giá trị lớn nhất bằng khiTuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất  khái niệm độ gần đều Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGXét các cặp số không âm .Ta gọi hiệulà độ lệch của cặp số hay là độ gần đều của cặp sốNếu ρ(x,y) = 0  x = y  cặp đềuNếu x ≠ y  ρ(x,y) > 0  độ gần đềuChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGChương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGKhi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9. Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9. Tất cả có chung một đặc trưng:(x.y) ≤ (9/2)2Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:1.8 0 và A + B + C = πTrong tam giác đều ta có: A = B = C = π/3	Như vậy cho một Δ bất kỳ thì Δ này là xa đều hơn Δ đều vì hiệu giữa max và min của tam giác này luôn lớn hơn hoặc bằng không, còn hiệu giưa max và min của tam giác đều bao giờ cũng bằng không.Do đó trong các bài toán BĐT thường ta đi so sánh giữa các BĐT đã cho với các BĐT của các tam giác đều. Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG Không mất tính tổng quát có thể coi A là góc lớn nhất, góc C là góc nhỏ nhất, hiển nhiên ta có:A ≥ π/3 vì max ≥ (A+B+C)/3C≤ π/3	Thứ tự sắp được của bộ 3 số đó:A ≥ π/3 A + B ≥ π/3 + π/3 A + B + C = π/3 + π/3 + π/3 = πTừ so sánh này ta có thể thay các góc A, B, C bằng các biểu thức khác nhau.	Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGXét một Δ ABC không nhọn (tù hoặc vuông), A > B > C, ta có:A ≥ π/2 C ≤ π/4 vì B + C ≤ π/2 Ta có thể thấy ngay rằng:Trong các tam giác không nhọn thì tam giác vuông cân là tam giác gần đều nhấtVì vậy nếu ta có 1 BĐT liên quan đến tam giác bất kỳ so sánh với tam giác đều thì ta cũng có BĐT liên quan đến các tam giác không nhọn so sánh với tam giác vuông cân.	Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNGỨng dụng của BĐT Cauchy là rất nhiều. Đặc biệt khi liên quan đến tam thức bậc hai, một ứng dụng lớn nhất là tìm max và min của các dạng phân thức.Dạng phân thức có cấu trúc trặt và gặp nhiều trong các bài toán thi Olympic quốc gia và quốc tế là dạng phân thức mà tử số và mẫu số đều là các đa thức bậc không quá hai.Cấu trúc đề tìm max và min khi dùng BĐT Cauchy cũng như tam thức bậc hai là cấu trúc có chiều ngược lại với truyền thống các bài toán sử dụng các phép tính vi phân.	Chương 1: Bất đẳng thức CauchyDẪN CHƯƠNG