Bài giảng Giải tích 12 - Tiết 19: Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Chµo mõng c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸ovµ c¸c em häc sinhKh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè : y = x3 + 3x2 - 4KiÓm tra bµi cò:Bac3 maykienTiÕt 19: Mét sè bµi to¸n th­êng gÆp vÒ ®å thÞ* Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ * Sù tiÕp xóc cña hai ®­êng cong1) giao ®iÓm cña hai ®å thÞ.Gi¶ sö hµm sè y= f(x) cã ®å thÞ lµ (C) vµ hµm sè y=g(x) cã ®å thÞ lµ (C1) . H·y t×m c¸c giao ®iÓm cña (C)vµ (C1).Gi¶i :M0(x0 ;y0) lµ giao ®iÓm cña (C) vµ (C1) khi vµ chØ khi (x0 ;y0) lµ nghiÖm cña hÖy = f(x) y = g(x)Do ®ã ®Ó t×m hoµnh ®é c¸c giao ®iÓm cña (C) vµ (C1) ta gi¶i ph­¬ng tr×nh:f(x) = g(x) (1)NÕu x0, x1lµ nghiÖm cña (1) th× c¸c ®iÓm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) lµ c¸c giao ®iÓm cña (C) vµ (C1)NhËn xÐt:*To¹ ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (C1) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh:Do ®ã ta cã 2 lo¹i bµi to¸n1/ Dùa vµo ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x)2/ Dùa vµo sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) biÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x)y = f(x) y = g(x)*Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ (C1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: f(x) = g(x) *Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) b»ng sè giao ®iÓm cña (C) vµ (C1).yx0-11-2-4-2-3231VÝ dô 1:Dïng ®å thÞ biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh : x3 + 3x2 - 4 = m (*) theo m Gi¶i:Ta cã ®å thÞ sau (C)Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (*) chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng (d): y = my = mHbac 3May kienyx0-11-2-4-2-3231dKÕt luËn :  d vµ (C) cã 1 g®  (*) cã 1 nghiÖmyx0-11-2-4-2-3231+ +m = 0m = - 4  d vµ (C) cã 2 g®  (*) cã 2 nghiÖm+- 4 0m < -4  d vµ (C) cã 3 g®  (*) cã 3 nghiÖmVÝ dô 2 : BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña ®å thÞ c¸c hµm sè  d: y= x- m vµ (C):Gi¶i :XÐt ph­¬ng tr×nh :(x  - 2 ) x2 - 6x + 3 = (x - m)(x + 2) (x  - 2 ) x2 - 6x + 3 = x2+ (2 - m)x - 2m (x  - 2 )  (8 - m)x – 3 - 2m = 0 (2) (x  - 2 )BiÖn luËn* m = 8:(2) cã d¹ng 0x - 19 = 0 (2) v« nghiÖm ( d ) vµ (C) kh«ng cã giao ®iÓm* m  8 :ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt nÕu 3 + 2m = -16 + 2m 3 = -16 (v« lý )VËy trong tr­êng hîp nµy ( d ) vµ (C) cã mét giao ®iÓm cã to¹ ®é lµ (x;y) víi :( 8 - m ) x -2m -3 = 0 ( 2 )II. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONGĐN: Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm Ta nói rằng hai đường cong y = f(x) và y = g(x)tiếp xúcvới nhau tại điểm nếu M là một điểm chung của chúngvà hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại M. Điểm M gọi là tiếp điểm của hai đường cong.xOyMy=g(x)y=f(x)y=g(x) và y=f(x) tiếp xúcnghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đócó nghiệmVD3: CMR hai đường cong vàtiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Xác định tiếp điểm và viết pttt chung của hai đường cong tại điểm đó.Giải:Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ pt:Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1/2;-5/4)Pttt chung : y=2x-9/4VD3maykienH2: CMR đường cong tiếp xúc với paraboltại một điểm nào đó.Xác định tiếp điểm và viết pttt chung của hai đường cong tại điểm đó.GiảiHoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ pt:Vậy hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau tại điểm M(1;0)Pttt chung : y=y’(1)(x-1) hay y=2(x-1)H2maykienVD4: CMR đường thẳng y=px+q là tiếp tuyến của parabolkhi và chỉ khi ptcó nghiệm képCM: Đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:*) Nếu đường thẳng tx với (P) thì hệ pt trên có nghiệm.Giả sửlà một nghiệm của hệ.Từ (2) cóThay vào (1),ta được*) Nếu pt (1) có nghiệm kép thìHiển nhiêncũng là nghiệm của pt (2).Vậy hệ pt trên có nghiệm. Do đó đường thẳng là tiếp tuyến của parabol.Chú ý: Có thể áp dụng VD4 để xét sự tiếp xúc của đường thẳng và parabolCñng cè:1) Dùa vµo ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x)2) Dùa vµo sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh f(x) = g(x) biÖn luËn sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x)Bµi tËp vÒ nhµ: bµi 57, 58, 62, 63 vµ 65. Trang 55, 56, 57 SGK 3) Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong.4) Viết pt của đường thẳng đi qua điểm A(1;-2) và tiếp xúc với parabol ĐS: y = 2x – 4 và y = -2xxin tr©n träng c¸m ¬nC¸c thÇy c« vµ c¸c em