Bài giảng Hình học 12 NC §4: Thể tích của khối đa diện

Chào mừng thầy cô giáo tham dự tiết học ứng dụng công nghệ thông tin 12 A4Trần Chí Thanh **chithanhtranvl@gmail.comCHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG§4. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN**chithanhtranvl@gmail.comMục tiêu Hiểu được khái niệm thể tích của khối đa diện. Nắm vững các cơng thức tính thể tích một số khối đa diện đơn giản ( khối chĩp, khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ ) Biết vận dụng để tính thể tích các khối đa diện phức tạp hơn**chithanhtranvl@gmail.comABCDDCBAA’B’C’D’1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?Thể tích của một khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.**chithanhtranvl@gmail.com1. Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?Mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây :a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.**chithanhtranvl@gmail.comV1V2V1 = V2a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.V1V2ABCDA’B’C’D’MNPQM’N’P’Q’MNPQABCDV1 = V2*b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.V = V1 + V2V1V2ABCDEFABCDEFABCDA’B’C’D’ABCDA’B’C’D’*c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.1111 x 1 x 1 = 1 (đơn vị thể tích)ABCDA’B’C’D’*Khối lập phương có cạnh bằng 1 còn gọi là khối lập phương đơn vịGiả sử ta có một khối hộp chữ nhật với ba kích thước 8, 3, 4 như sau :Bằng những mặt phẳng song song với các mặt của khối hộp, ta có thể phân chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1.843Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 8 , 3, 4 bằng bao nhiêu ? Vì sao ?2. Thể tích của khối hộp chữ nhật**chithanhtranvl@gmail.comV = 1 (đơn vị thể tích)Theo tính chất 2, thể tích V của khối hộp chữ nhật bằng tổng các thể tích của các khối lập phương nên thể tích của khối hộp chữ nhật trên bằng bao nhiêu ?Có bao nhiêu khối lập phương đơn vị trong khối hộp chữ nhật ? Vì sao ?843V = 96 (đvtt)= 8 x 3 x 4**chithanhtranvl@gmail.comNhư vậy, một khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c đều là những số dương.abcV = a.b.cĐịnh lý1. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước.**chithanhtranvl@gmail.comHệ quả. aABCDA’B’C’D’Thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng aV = a3aa**chithanhtranvl@gmail.comABCDSS’HMN Xét khối 8 mặt đều với các đỉnh S, S’, A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC thì đoạn thẳng MN là một cạnh của khối lập phương.Giải .*chithanhtranvl@gmail.com*Ví dụ 1. Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.ABCDSS’HMNSBCDS’MNIJKLPQAGiải .**chithanhtranvl@gmail.comVí dụ 1. Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.Giải . Gọi M’, N’ lần lượt là trung điểm của AB, BC thì M, N lần lượt nằm trên SM’, SN’ nên :ABCDSS’HMM’N’N*chithanhtranvl@gmail.com*Ví dụ 1. Tính thể tích của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a. Vậy:Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h, đáy là tam giác A’B’C’ vuông tại A’với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a, b, h. ?1Hướng dẫnAA’CBC’B’abh Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.D’D Phép đối xứng qua đường thẳng OO’ biến khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành khối lăng trụ DCB.D’C’B’.OO’*chithanhtranvl@gmail.com* ?1 Cách khác :AA’CBC’B’abhC  B1B  C1C’ B’1B’  C’1A1A1’ Ghép khối lăng trụ ABC.A’B’C’ với khối lăng trụ A1B1C1.A1’B1’C1’ bằng nó sao cho B1  C, C1  B, B1’  C’, C1’  B’,A1  (ABC), A1’  (A’B’C’). Khối hộp chữ nhật ABA1C.A’B’A1’C’ có thể tích gấp đôi thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’*Khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h, đáy là tam giác A’B’C’ vuông tại A’với hai cạnh góc vuông bằng a và b. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a, b, h.*chithanhtranvl@gmail.comV = Sđáy .hV = B .hhay Sđáy hay B : diện tích mặt đáy. h : chiều cao của khối chóp (h là khoảng cách từ đỉnh của khối chóp tới mặt phẳng chứa đáy của khối chóp)ABCDHh*chithanhtranvl@gmail.com*Định lý 2. Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.Chú ý :Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một.Tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD vuông góc với nhau từng đôi một.CSABABCD**chithanhtranvl@gmail.com*chithanhtranvl@gmail.com* Trên 3 đường thẳng SA, SB, SC của khối chóp tam giác S.ABC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Ta có:SABCA’B’C’ Đặc biệt: Thể tích của tứ diện SABC còn tính theo công thứcABDC Giải.H Gọi H là tâm của tam giác đều BCD, ta có:*chithanhtranvl@gmail.com*Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. (tính chất chóp đều)AH là đường cao của tứ diện đều ABCD Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:Giải.Gọi EO là chiều cao của khối chóp E.ABCD ( O là tâm của hình vuông ABCD). Ta có :ABCDEF Chia khối tám mặt đều này thành hai khối chóp tứ giác đều E.ABCD và F.ABCD cạnh a.OTính thể tích khối chóp E.ABCD*chithanhtranvl@gmail.com*Ví dụ 3. Tính thể tích của khối tám mặt đều ABCDEF có cạnh bằng a.(EAFC là hình vuông cạnh a) Thể tích khối 8 mặt đều ABCDEFTính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2Để giải bài toán, ta trả lời ba câu hỏi sau :a) Chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (BA’C’) và (ABC’), hãy kể tên ba khối tứ diện đó.b) Chứng tỏ rằng ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.c) Từ đó suy ra công thức V = S.h. Hãy phát biểu thành lời công thức đó.A’AC’B’CB*chithanhtranvl@gmail.com*Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2a) Chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện đó là : B.A’B’C’, C’.ABC và B.AA’C’.b) Hai khối tứ diện B.A’B’C’ và C’.ABC có ABC = A’B’C’ và hai chiều cao bằng nhau (đều bằng chiều cao h của khối lăng trụ) nên V(B.A’B’C’) = V(C’.ABC)Hai khối tứ diện B.AA’C’ và B.ACC’ có AA’C’ = ACC’ và chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách từ B đến mp(AA’C’C)) nên V(B.AA’C’) = V(B.ACC’) = V(C’.ABC)Vậy thể tích ba khối tứ diện nói trên bằng nhau.**chithanhtranvl@gmail.comA’AC’B’CBTính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết diện tích đáy ABC bằng S và chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) bằng h. ?2c) Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được phân chia thành ba khối tứ diện có thể tích bằng nhau A’.ABC, B.A’B’C’ và A’.BCC’.Suy ra thể tích khối lăng trụ bằng ba lần thể tích khối chóp A’.ABC.VABC.A’B’C’ = 3.VA’.ABC = 3. SABC.h = S.hVậy thể tích khối lăng trụ tam giác bằng tích số diện tích đáy và chiều cao.VABC.A’B’C’ = Sđáy .h**chithanhtranvl@gmail.com Xét khối lăng trụ có đáy là một đa giác bất kì. Vì bất kì đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác có cùng chiều cao.Tổng các thể tích của chúng chính là thể tích của khối lăng trụ ban đầu.Định lý 3. Thể tích của một khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó.ABCDEA’B’C’D’E’**chithanhtranvl@gmail.comABA’CGiải. Vì hai khối chóp C’.MNBA và C’.MNB’A’ có cùng chiều cao và mặt đáy bằng nhau nên VC’.MNBA = VC’.MNB’A’ B’MC’ V là thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.N**chithanhtranvl@gmail.comVí dụ 4. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA’ và BB’. Mặt phẳng (MNC’) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó.*chithanhtranvl@gmail.com*Vậy: Tỉ số thể tích cần tìm là Câu 1 : (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng :*chithanhtranvl@gmail.com*THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆNHÌNH HỌC 12 Câu 2 : Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập phương đó là :a) 64b) 91c) 84d) 48 Câu 3 : Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên k lần thì thể tích của nó tăng lên :a) k lầnb) k2 lầnc) k3 lầnd) 3k3 lần Làm các bài tập 4 đến 6 trang 31 sách Hình học Nâng cao 12 ( bài tập Ôn chương) Làm các bài tập 15 đến 25 trang 27 đến trang 29 sách Hình học Nâng cao 12. Làm hoàn chỉnh các ví dụ 1, 2, 3, 4 từ trang 24 đến trang 27 sách Hình học Nâng cao 12.BÀI TẬP HÌNH HỌC 12**chithanhtranvl@gmail.comBÀI TẬP VỀ NHÀ**chithanhtranvl@gmail.comXin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô giáo đã theo dõi và các học sinh lớp 12A4 đã hỗ trợ thực hiện tiết họcChúc tất cả Thầy cô giáo đạt được nhiều sức khỏe và xin hẹn gặp lại.