Bài giảng môn Toán 11 - Lượng giác

Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 1 
 Lượng Giác 
αααααααα 
A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN : 
 1) Hàm số lượng giác : 
 Vòng tròn lượng giác : Vòng tròn tâm ,bán kính R = 1 ,chiều dương ngược chiều 
kim đồng hồ ( trong hệ trục Oxy ) 
 4 hàm số lượng giác : y = sinx ( Oy ) , y = cosx ( Ox ) , y = tanx , y = cotx 
 1 sin , cos 1    và tan ,cot     
2) Tính tuần hoàn : 
 Sin (x + k.2 ) = sinx 
 Cos (x + k.2 ) = cosx 
Tan (x + k. ) = tanx 
Cot (x+k. ) = cotx 
Hàm six ,cosx tuần hoàn với chu kì 2 , hàm tanx ,cotx tuần hoàn với chu kì  
 3) Hệ thức cơ bản : 
 2 2sin cos 1   ; 
sintan
cos



 ; 
coscot
sin



 
 tan .cot 1   
1cot
tan
1tan
cot




 
 
 

 22
1 1 tan
cos


  ; 22
1 1 cot
sin


  
4) Dấu của các giá trị Lượng Giác : 
 Trong cung phần tư 
thứ (1) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x

 


 
 Trong cung phần tư 
thứ (2) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x

 


 
O 
(1) 
(4) (3) 
(2) 
2

0  
3
2

2 
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 2 
 Trong cung phần tư 
thứ (3) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x

 


 
 Trong cung phần tư 
thứ (3) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x

 


 
5) Các cung liên kết : 
 Hai cung đối nhau : &x x 
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
 
  
  
  
 Hai cung bù nhau : &x x  
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x




 
  
  
  
 Hai cung phụ nhau : &
2
x x  
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x




   
 
   
 
   
 
   
 
 Hai cung hơn 
2

 : &
2
x x 
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x




   
 
    
 
    
 
    
 
 Chú ý : Đối với sin và cos : chẵn  bỏ ; lẻ  bỏ ,thêm dấu  ở 
trước 
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 3 
 Đối với tan và cot : chẵn hay lẻ  ta bỏ vô tư ko cần thêm gì nữa 
B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC : 
 CÔNG THỨC CỘNG : 
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tantan( )
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
a ba b
a b
  
 

 


 HỆ QUẢ : 
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
a a a
a a a


       

       

 CÔNG THỨC NHÂN : 
 Nhân đôi : 
2 2 2 2
2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2 tantan 2
1 tan
x x x
x x x x x
xx
x

     


 Nhân ba : 
3sin 3 3sin 4sinx x x  ; 3cos3 4cos 3cosx x x  
 Tổng thành Tích : 
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a ba b
a b a ba b
a b a ba b
a b a ba b
 
 
 
  
 
 
 
 
 nhận xét : 
2
a b
 đứng trước, 
2
a b 
đứng sau 
 Tích Thành Tổng : 
1cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1sin .sin [cos( ) cos( )]
2
1sin .cos [sin( ) sin( )]
2
1cos .sin [sin( ) sin( )]
2
     
     
     
     
   
    
   
   
 CÔNG THỨC HẠ BẬC : 
 2 1 cos 2sin
2
xx  ; 2 1 cos 2cos
2
xx  
C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 
 Phương trình Lượng Giác cơ bản : 
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k Z
u v k

 
 
     
cos cos 2 ,( )u v u v k k Z     
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 4 
tan tan
;( )
cot cot
u v
u v k k Z
u v

 
   
 
 Chú ý : khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp dạng này 
khi gặp phương trình dạng : 
cos cosu v  đưa về cos cos( )u v  ; sin sinu v  đưa về sin sin( )u v  
tan tanu v  đưa về tan tan( )u v  ; cot cotu v  đưa về cot cot( )u v  
 Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG : 
Dạng : 
2
2
2
2
.sin .sin 0
.cos .cos 0
. tan .tan 0
.cot .cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c
   

  

  
   
 , Cách giải : đặt 
sin , ( 1 1)
cos ,( 1 1)
tan , ( )
cot , ( )
t x t
t x t
t x t R
t x t R
   
    

 
  
 Pt cho sẽ trở thành : 2. . 0a t b t c   t x  
 Phương trình đối xứng với sinx và cosx : 
 .sin cosa u b u c  ; đk có nghiệm : 2 2 2a b c  
 Cách giải : chia 2 vế phương trình cho 2 2a b 
Phương trình cho trở thành : 
2 2 2 2 2 2
.sin cosa b cu u
a b a b a b
 
  
 Đặt 
2 2 2 2
cos sina b
a b a b
   
 
 , bằng tư duy ta đưa về công 
thức : 
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
  
   sau đó giải bình thường 
tức là 
2 2 2 2
sin .cos cos .sin sin( )c cu u u
a b a b
      
 
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 5 
 Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx : 
2 2.sin .sin .cos .cosa u b u u c u d   (1) 
 Cần nhớ : 2
2
sin 2 2sin .cos
1 1 tan
cos
u u u
u
u



 
Cách giải1 : 
o Xét 2cos 0 sin 1x x   , nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm 
của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm 
o Xét cos 0x  , chia 2 vế phương trình (1) cho 2cos x và nhớ 
2
2 .(1 tan )cos
d d x
x
  hay 2 2(sin cos )d d x x  , sau đó đưa về 
phương trình bậc 2 theo tanx và giải 
 Cách giải2 : 
 1 cos 2 sin 2 1 cos 2. . .
2 2 2
x x xa b c d    .sin 2 cos 2A x B x C   ( đã học , 
dùng trong biện luận nghiệm nhiều hơn ) 
 Phương trình chứa tổng và tích : 
.(sin cos ) sin .cos 0a u u b u u c    
Cách giải : đặt sin cos 2 sin( )
4
t u u u     ,đk 2 2t   sau đó bình 
phương và rút sin .cosu u theo t và thế vào pt giải bình thường sẽ có nghiệm t 
 Phương trình quy về dạng tích : 
0
. . 0 0
0
A
A B C B
C

  
 
 Phương trình tổng bình phương : 
2 2 00
0
A
A B
B

   

Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 6 
 Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới) : 
A M
A M
B M
B M
A B


  
 
Lưu ý dạng 
sin 1
cos 1
sin .cos 1
sin 1
cos 1
u
v
u v
u
v
 
     

 
Trong quá trình làm bài tập sẽ có nhiều dạng khác ,đòi hỏi kĩ năng và kinh 
nghiệm của các em 
Bài Tập Lượng Giác 
A.Phương trình cơ bản : 
1) 1sin(2 )
3 2
x   2) 3cos(2 )
3 2
x   3) 2sin(2 )
4 2
x    4) sin 5 sin 3x x 
5) 1sin( 20 )
2
ox   6) 1sin( 2)
3
x   7) 1tan 3
3
x   8) tan(3 12 ) tan 60o ox   
9) tan(4 2) 3x   10) sin(2 1) sin( 3)x x   11) 3sin 1
5
x
 12) 3cot 2 1x  
13) 2sin 7 3 0x   14) cos 4 cos3 0x x  15) sin(2 ) sin
3
x x   
16) sin 2 cos3 0x x  17) 4cos 1x  18) 2sin 3 3 0x   
19) 2 2sin sin 2 1x x  20) 3 tan 2 3 0x   21) 1sin(2 )
3 2
x   
22) cos3 s in4 0x x  23) 4sin .cos .cos 2 1x x x  24) 16sin .cos .cos 2 cos 4 2x x x x  
25) 2 1sin 2
4
x  26) 2cos ( 30 ) 1ox   27) 2 3cos ( )
6 4
x   28) 2sin( ) 3
3 4
x 
  
29) cos 2 sinx x 
B.Đặt ẩn phụ : 
1) 22cos 3cos 5 0x x   2) 2tan 2 tan 3 0x x   3) 2cos 2 cos 1x x  
4) 22sin 2 5sin 2 3 0x x   5) 22cos 3cos 5 0x x   6) 24sin 4 cosx x  
7) 2
3 4 tan
cos
x
x
 8) 22cos 5 3cos5 1 0x x   9) 5cos 2sin 3 0
2
xx    
10) 24cos 2( 3 1) cos 3 0x x    11) 2tan (1 3) tan 3 0x x    12) 2cot 4cot 3 0x x   
13) 4 2tan 4 tan 3 0x x   14) cos 2 9cos 5 0x x   15) 2cos sin 1 0x x    
16) sin 3 cos 2 1 2sin cos 2x x x x   17) 2 21sin 2 sin
2
x x  18) 3 2 2cos cos 2sin 2 0x x x    
C.Phương trình đối xứng : 
1) sin 3 cos 1x x  2) 3 sin 3 cos3 2x x  3) cos 3 sin 2x x  
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 7 
4) 2sin 2cos 2 0x x   5) 3sin 2 3 cos 2 1x x  6) 2 1sin 2 sin
2
x x  
7) sin( 2 ) 3 sin( 2 ) 1
2
x x     8) 22sin 3 sin 2 3x x  9) sin 4 cos 4 1x x  
10) sin 3 3 cos3 2sin 2x x x  ( KA Cao Đẳng – 2008 ) 11) 2 2 1sin cos cos
2
x x x   
D.Phương trình đẳng cấp : 
1) 2 22sin sin cos 3cos 0x x x x   2) 2 23sin 2sin 2 5cos 2x x x   
3) 2 22sin 2 5sin 2 cos 2 cos 2 2x x x x    4) 2 2 1sin sin 2 2cos
2
x x x   
5) 2 22cos 3 3 sin 2 4sin 4x x x    6) 2 23sin 4sin 2 (8 3 9) cos 0x x x    
7) 2 22sin (3 3)sin cos ( 3 1) cos 1x x x x      
E.Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích : 
1)3(sin cos ) 2sin 2 3 0x x x    2) sin cos 4sin cos 1 0x x x x    
3) 6(sin cos ) sin cos 6x x x x   4) (2 2)(sin 2 cos 2 ) 2sin 2 cos 2 2 2 1x x x x     
5) 2sin 2 3 3(sin cos ) 8 0x x x    6) (1 2)(1 sin cos ) sin 2x x x    
F.Bài tập tổng hợp : 
 Bài 1 : giải các phương trình LG sau 
1) 2cos 2 0
1 sin 2
x
x


 2) cos 2 . tan 0x x  3) sin 3 cos5 0x x  4) 2
1 sin 21 tan 2
cos 2
xx
x

  
5) 3 2tan tan 3tan 3x x x   6) 2 2sin 2cos 2 3 7cos 0x x x    7) cos9 2cos6 2x x  
8) 24cos cos 3x x 9) 3 2 2cos cos 4cos 0
2
xx x   10) 3cos 2 sin( ).cos
2
x x x     
 
11) 4 4 5sin cos
8
x x  12) 32sin cos 2 sin 0x x x   13) 4 44(sin cos ) 3 sin 4 2x x x   
14) sin 2 1
1 cos 2
x
x



 ; 15)cos sin 2 0x x  ; 16) 2 2 2cos cos 2 cos 3 3.cos
2 2 2 6
x x x                  
     
17) cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x    ; 18) 6sin 2cosx x ;19) 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x   
 Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây : 
 1) cos3 2cos 2x x  ( ĐH Cảnh Sát Nhân Dân ) 
 2) 1 cos cos 2 cos3 0x x x    ( ĐH Nông Lâm – 2001 ) ĐS : 
cos 0
cos 1
1cos 2
x
x
x
 
  


 3) 5sin 5 cos sin 2
2 2
x x x          
   
( ĐH An Giang – 2001 ) 
 4) 
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x x    
 
( KD – 2006 ) 
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 8 
 5) 12cos 2 8cos 7
cos
x x
x
   ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) 
 6) sin 2 2 tan 3x x  ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 ) 
 7) 2 2 2sin sin 3 3cos 2x x x  ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 ) 
 8) tìm nghiệm [0;14]x của pt : cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x    ( KD – 2002 ) 
 ĐS: 3 5 7, , ,
2 2 2 2
    
 
 
 9) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   ( KB – 2002 ) ĐS : 
8 9
x k x k    
 10) tìm nghiệm [ ;3 ]
2
x   của phương trình : 5 7sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x           
   
 11) sin sin 2 sin 3 0x x x   ( ĐH Kiến Trúc – 2000 ) 
 12) sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x         
   
( Bưu Chính Viễn Thông – 1999 ) HD : biến VP thành tổng 
 ĐS : 
4 2
x k   
 13) sin 5 cos5
sin cos
x x
x x
 HD : pt
sin 4 0
cos 2 0
sin 2 0
x
x
x

  

 14) 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
xx x x
x
   

( KA – 2003 ) 
 15) 2cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
   ( KB – 2003 ) 
 16) 2 2 2sin .tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
 ( KD – 2003 ) 
 17) 25sin 2 3(1 sin ).tanx x x   ( KB – 2004 ) 
 18) (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x    ( KD – 2004 ) 
 19) 2 2cos 3 .cos 2 cos 0x x x  ( KA – 2005 ) 
 20) 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x     ( KB – 2005 ) 
 21) 4 4 3cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x            
   
 ( KD – 2005 ) 
 22) 
6 62(cos sin ) sin cos 0
2 2sin
x x x x
x
 


 ( KA – 2006 ) 
 23) cos3 cos 2 cos 1 0x x x    ( KD – 2006 ) 
 24) 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2x x x x x     ( KA – 2007 ) 
 25) 22sin 2 sin 7 1 sinx x x   ( KB – 2007 ) 
 26) 1 1 74sin
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
 ( KA – 2008 ) 
 27) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x   ( KB – 2008 ) 
 28) 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cosx x x x    ( KD – 2008 ) 
 29) 3 3cos sin sin cosx x x x   ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 ) 
Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 
0914449230 9 
 30) 22 tan cot 3
sin 2
x x
x
   ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) 
 31) tan cot 4x x  ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97) 
 32) 25 3sin 4cos 1 2cosx x x    ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96) 
 33) 3 2cos sin 3sin .cos 0x x x x   ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98) 
 34) sin 3 2cos 2 2 0x x   ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 
 35) 13 sin cos
cos
x x
x
  ( ĐH An Ninh – 98) 
 36) 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x   ( ĐH Kinh Tế Quốc Dân – 99) 
 37) sin 3 sin 2 5sinx x x  (ĐH Y Hải Phòng – 2000) 
 38) 2 sin 2 cos 2 2x x  (ĐH Huế - KD – 99) 
 39) 2 2cos 3 sin 2 1 sinx x x   ( ĐH Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000) 
 40) cos7 .cos5 3 sin 2 1 sin 7 .sin 5x x x x x   ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96) 
 41) 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x   ( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95) 
 42) 3cos 3 sin 3
cos 3 sin 1
x x
x x
  
 
( ĐH Dân Lập Phương Đông – 97) 
 Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm : 
 1) 2 2( 3)sin ( 3)sin cos cos 0m x m x x x     
 2) 2(5 2)cos ( 1)sin 2 1m x m x     
 3) 2 2 2( 2)sin 4sin cos 3m x x x m    
 ( HD : đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm) 
 Bài 4 : 
1) Tìm các nghiệm của pt : 2 2 7sin cos 4 sin 2 4sin
4 2 2
x x x       
 
 thỏa điều kiện 1 3x   
2)Cho hai phương trình : 
2
2
1 sin1 (1)
cos
(1 sin ) sin 2 (2)
xtgx
x
m x x m

 
  
Tìm m để mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) 
Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc : 
1) cos .cos5 cos 2 .cos 4x x x x 2) cos5 .sin 4 cos3 .sin 2x x x x 
3) sin 2 sin 4 sin 6x x x  3) sin sin 2 cos cos 2x x x x   
4) 2 2 2 2sin 4 sin 3 sin 2 sinx x x x   5) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x   