Bài giảng Toán học 10 - Các hệ thức lượng trong tam giác (tiếp)

 KiÓm tra bµi cò C©u hái 1 : Em h·y ph¸t biÓu ®Þnh lÝ cosin trong tam gi¸c a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosCC©u hái 2 : Em h·y ph¸t biÓu ®Þnh lÝ sin trong tam gi¸cTr¶ lêi : Trong tam gi¸c ABC , víi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp , ta cã :Tr¶ lêi : Víi mäi tam gi¸c ABC ta cã :§4. C¸c hÖ thøc l­îng trong tam gi¸c PhÇn 4 C«ng thøc ®é dµi ®­êng trung tuyÕnHhaACBcabMACBbcamaPhÇn 3 C¸c c«ng thøc vÒ diÖn tÝch tam gi¸c(TiÕp theo )3. C¸c c«ng thøc vÒ diÖn tÝch tam gi¸c( R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ), r lµ BK ®­êng trßn néi tiÕp )( ha , hb , hc lÇn l­ît lµ c¸c ®­êng cao kÎ tõ c¸c ®Ønh A,B,C )(CT Hª r«ng)(1)(5)(4)(3)(2)Chøng minh : 2) HhabACBcaTa ®· biÕtACBacbDo ®ã ta cã :NÕu C = 900 th× ha = b vµ sinC = 1nªn ta vÉn cã c«ng thøc trªnmµ ha = AC sinACH3) Thay vµo c«ng thøcta ®­îcnÕu gãc C tï th× ACH = 1800 - CnÕu gãc C nhän th× ACH = C sin ACH = sin C= b sinACHCHhaABcabCVÝ dô 1 :TÝnh diÖn tÝch , b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp , ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ba c¹nh lµ a = 13 , b = 14 , c = 15Gi¶i : Ta cã :¸p dông c«ng thøc Hª r«ng V× 4. C«ng thøc ®é dµi ®­êng trung tuyÕn§Þnh lý : Trong mäi tam gi¸c ABC , ta ®Òu cã :Trong ®ã ma , mb , mc lµ ®é dµi c¸c ®­êng trung tuyÕn lÇn l­ît kÎ tõ c¸c ®Ønh A , B , C cña  ABCGäi AM lµ ®­êng trung tuyÕnvÏ tõ A , AM = ma . Ta cã :ACBbcaMmaC¸c ®¼ng thøc kh¸c chøng minh t­¬ng tùABAC+( )AM =AM2=AC2AB2+ABAC2+( )ma2 =( c2 + b2 +2bc cosA )ma2 =( c2 + b2 +b2 + c2 - a2 )Chøng minh :VÝ dô 2 : Cho hai ®iÓm A , B cè ®Þnh . T×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : MA2 + MB2 = k2 ( k lµ mét sè cho tr­íc ) Gi¶i: OGi¶ sö cã ®iÓm M tho¶ m·n : MA2 + MB2 = k2 Gäi O lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB , th× OM lµ ®­êng trung tuyÕn trong  MAB nªn :Ta xÐt c¸c tr­êng hîp :* NÕu 2k2 > AB2* NÕu 2k2 < AB2 th× quü tÝch lµ tËp rçng * NÕu 2k2 = AB2 = RKhi ®ã quÜ tÝch M lµ ®­êng trßn t©m O , b¸n kÝnh Rth× OM = 0 hay M trïng OABMth×b) Chøng minh r»ng trong mét h×nh b×nh hµnh tæng b×nh ph­¬ng c¸c c¹nh b»ng tæng b×nh ph­¬ng hai ®­êng chÐoGi¶i:AJIDCBa) ¸p dông ®Þnh lÝ ®­êng trung tuyÕn vµo  BAC vµ  DAC , ta cã :BA2 + BC2 =DA2 + DC2 =VÝ dô 3 : Cho tø gi¸c ABCD ; I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ BDa)CM hÖ thøc : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2AC222DI2 +AC222BI2 +Céng hai §T trªn theo tõng vÕ , ta cã :AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = ¸p dông ®Þnh lÝ ®­êng trung tuyÕn vµo  IBD , ta cã : BI2 + DI2 =2IJ2 +BD22Thay vµo (*) , ta ®­îc :AB2 + BC2 + CD2 + DA2 =2( BI2 + DI2 ) +AC2 (*)AC2 + BD2 + 4IJ2b) Chøng minh r»ng trong mét h×nh b×nh hµnh tæng b×nh ph­¬ng c¸c c¹nh b»ng tæng b×nh ph­¬ng hai ®­êng chÐoVÝ dô 3 : Cho tø gi¸c ABCD ; I , J lµ trung ®iÓm cña AC vµ BDa)CM hÖ thøc : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2Gi¶i: b) NÕu ABCD lµ h×nh b×nh hµnh th× I vµ J trïng nhau nªn IJ = 0 vµ ta cã: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 VËy :Trong mét h×nh b×nh hµnh tæng b×nh ph­¬ng c¸c c¹nh b»ng tæng b×nh ph­¬ng hai ®­êng chÐoJIDCAB