Bài giảng Toán học 10 - Phương trình đường tròn

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn tâm I(a;b) , bán kính R cĩ phương trình:1. Phương trình đường trịn cĩ tâm và bán kính cho trước(x - a)2 + (y - b)2 = R2OM(x;y)Rxy Đường trịn tâm là gốc tọa độ , bán kính R cĩ phương trình:x 2 + y2 = R2 OM(x;y)RxyIOM(x;y)RxyIOM(x;y)RxyIa/ Viết phương trình đường tròn tâm I(2 ; - 3) và có bán kính R = 5Ví dụ 1Phương trình của đường tròn có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 52 =25b/ Xác định tâm và bán kính dường tròn có phương trình : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0Phuơng trình được viết dạng : (x – 3)2 + (y + 4)2 = 72 Vậy đường trịn cĩ tâm là I(3; - 4) và bán kính R = 7(x - a)2 + (y - b)2 = R2Ví dụ 2a) Đường tròn có tâm là A(5 ; - 4) và có bán kính là R = AB Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (x – 5)2 + (y + 4)2 = 100 Cho hai điểm A(5 ; - 4) và B(- 1 ; 4).a) Viết phương trình đường trịn tâm A và đi qua Bb) Viết phương trình đường trịn đường kính ABĐể viết pt đường trịn cần biết tọa độ tâm và bán kính R.Ta có : R2 = AB2 = (xB – xA)2 +( yB – yA)2 = (- 6)2 + 82 = 100b) Đường tròn có tâm I là trung điểm AB nên I (2 ; 0) là tâm Ta có R = AB:2 nên R2 = AB 2 : 4 = 100 : 4 = 25 Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (x – 2)2 + y 2 = 252. Phương trình tổng quát của đường trịn Phuơng trình của đường tròn có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 Đặt c = a2 + b2 – R2 . Ta cĩ phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Phương trình trên được gọi là phương trình tổng quát của đường trịn tâm I(a;b) , bán kính R. Từ c = a2 + b2 – R2 suy ra R2 = a2 + b2 – c Từ đĩ ta cĩ điều kiện : a2 + b2 – c > 0 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn tâm I(a;b) , bán kính R cĩ phương trình:1. Phương trình đường trịn cĩ tâm và bán kính cho trước(x - a)2 + (y - b)2 = R2 Đường trịn tâm là gốc tọa độ , bán kính R cĩ phương trình:x 2 + y2 = R2 Phương trình tổng quát của đường trịn :x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Điều kiện để phương trình trên là phương trình của đường trịn : a2 + b2 – c > 0 Bán kính của đường trịn 2. Phương trình tổng quát của đường trịn 12BÀI TẬP NHÓMTrong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường trịn?ĐSĐSSTâm và bán kính đường trịn cĩ phương trình x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 là : A. I(1 ; - 1) ; R = 1B. I(1 ; - 1) ; R = 2C. I(1 ; 1) ; R = 1D. I(1 ; 1) ; R = 2DVí dụ 3Viết phương trình đường trịn đi qua ba điểm 	A (-2; -1), B (-1; 4), C (4; 3).Gọi I (a; b) và R là tâm và bán kính của đường trịn đi qua 3 điểm A, B, C.Ta cĩ IA = IB = IC Ta cĩ hệ phương trình :Giải hệ phương trình ta cĩ a = 1; b= 1.Khi đĩ R2 = IA2 = 13. Phương trình đường trịn cần tìm là:(x - 1)2 + (y - 1)2 = 13Viết phương trình đường trịn đi qua ba điểm 	A (-2; -1), B (-1; 4), C (4; 3).Cách khác:Giả sử pt đường trịn cĩ dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 .Do A, B, C thuộc đường trịn nên ta cĩ hệ phương trình :Thay a = 1, b= 1, c = -11 vào phương trình trên ta cĩ:Phương trình đường trịn cần tìm là: x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho đường tròn có phuơng trình là: (x – 3)2 + (y + 2)2 – 25 = 0 Viết phương trình đường tròn tâm K(1 ; 4) và đi qua A (2 ; - 5) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn b) Viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng quát123Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A (1 ; - 3) ; B(5 ; 2) và C(1 ; 2)4Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(3 ; -2) và B(5 ; 4) 3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn Phương trình đường trịn cĩ dạng : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (x +1)2 + (y – 2)2 = 5b. Nhận xét thấy M(1;1) thuộc đường trịn Vậy đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua M và cĩ véc tơ pháp tuyến là Phương trình đường thẳng là : -2(x – 1) + 1(y – 1) = 0 Ví dụ Viết phương trình đường trịn cĩ tâm I(-1 ; 2) và cĩ bán kính R = b. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1;1) và tiếp xúc với đường trịn 2x – y – 1 = 03. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn Phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại M cĩ dạng : (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0RMICho điểm M(x0 ; y0) thuộc đường trịn tâm I(a;b) bán kính R Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại điểm M(3 ; 4) biết phương trình đường trịn là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8 3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn Phương trình tiếp tuyến của đường trịn tại M(3; 4) cĩ dạng : (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0Từ phương trình đường trịn là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8 Ta suy ra tâm I(1 ; 2) Thay x0 = 3 ; y0 = 4 ; a = 1 ; b = 2 vào phương trình ta được : (3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0Thu gọn ta cĩ phương trình : x + 2y – 7 = 0 3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn đi qua điểm N(4 ; 7) biết phương trình đường trịn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0 Từ phương trình đường trịn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0 Ta suy ra tâm I (-1 ; 2) và bán kính R = Nhận xét thấy M(4;7) khơng thuộc đường trịn Gọi phương trình đường thẳng (D) qua N cĩ dạng : A(x – 4) + B(y – 7) = 0 ( A và B khơng đồng thời bằng 0)hay Ax + By – 4A – 7B = 0Vì đường thẳng (D) tiếp xúc với đường trịn nên d(I ; D) = R 3. Phương trình tiếp tuyến của đường trịn b. Viết phương trình tiếp tuyến của đường trịn đi qua điểm N(4 ; 7) biết phương trình đường trịn là x2 + y2 + 2x – 4y = 0 Bình phương hai vế ta cĩ : Chọn A = 1 ta cĩ : Với A = 1 ; B = -½ ta cĩ phương trình tiếp tuyến : 2x – y – 1 = 0Với A = 1 ; B = - 1 ta cĩ phương trình tiếp tuyến : x – 2y + 10 = 0BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho đường tròn có phuơng trình là: x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0 Chứng tỏ điểm M(4 ; 2) thuộc đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M12 Cho đường tròn có phuơng trình là: (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25 Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua N(1; - 2)c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và song song với đường thẳng : 3x + 4y + 1 = 0d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và vuông góc với đường thẳng : 5x + 12 y – 3 = 0