Bài giảng Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử - Nguyễn Thị Nhung

CHUYEÂN ÑEÀ 
TOAÙN 8 
Giaùo vieân: NGUYỄN THỊ NHUNG 
PHÒNG GIÁO DỤC TP HÀ TĨNH 
TRÖÔØNG THCS NGUYỄN DU 
PHAÂN TÍCH ÑA THÖÙC THAØNH NHAÂN TÖÛ 
CHUYEÂN ÑEÀ 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
I. LÔØI NOÙI ÑAÀU 
 Trong moân ñaïi soá 8 , phöông phaùp nhaân vaø phöông phaùp chia caùc ña thöùc laø cô sôû cuûa pheùp bieán ñoåi caùc bieåu thöùc ñaïi soá, trong ñoù phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø moät daïng baøi hoïc maø hoïc sinh phaûi naém laøm cô sôû cho giaûi phöông trình, baát phöông trình sau naøy. Vì vaäy, toâi vieát chuyeân ñeà naøy mong giuùp hoïc sinh khoái 8 yeâu thích moân toaùn qua caùc baøi toaùn phaân tích thaønh nhaân töû moät caùch thaønh thaïo ôû nhöõng phöông phaùp ñôn giaûn, vaø cuõng daønh cho hoïc sinh khaù, gioûi nhöõng phöông phaùp môùi ñeå giaûi toaùn. 
 Toâi hy voïng seõ goùp phaàn giuùp caùc em coù kó naêng giaûi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñöôïc toát hôn. 
II. PHÖÔNG PHAÙP :  
1./ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung: 
- Heä soá cuûa nhaân töû chung laø öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc heä soá cuûa caùc haïng töû. 
- Caùc luõy thöøa baèng chöõ coù maët trong moïi haïng töû vôùi soá muõ nhoû nhaát cuûa noù. Muoán tìm haïng töû trong ngoaëc ta laáy töøng haïng töû cuûa ña thöùc chia cho nhaân töû chung. 
VD : Phaân tích ña thöùc 14x 2 y – 21xy 2 + 28x 2 y 2 thaønh nhaân töû: 
14x 2 y – 21xy 2 + 28x 2 y 2 = 
7xy 
(2x – 3y + 4xy) 
Chú ý : A = - ( - A ) ; A – B = - (B – A) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
1./ Phöông phaùp ñaët nhaân töû chung: 
Baøi taäp vaän duïng: 
 Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû: 
 a) 5x(x – 1) – 3x(x – 1) 
 b) x(x + y) – 5x – 5y 
 c) x(x – y) + y(y – x) 
 d) x 2 + xy + x 
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
Dùng hằng đẳng thức đã học vào phân tích thành nhân tử 
Vd: x 2 – 4x + 4 = x 2 – 2. x.2 + 2 2 = (x – 2 ) 2 
 x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 = ( x – 1 ) 3 
Tuy nhiên ta cần phải vận dụng mối quan hệ giữa các hằng đẳng thức 
 (a + b) 2 và (a - b) 2 ; (a + b) 3 và a 3 + b 3 ; 
 (a - b) 3 và a 3 – b 3 nếu cần. 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Baøi taäp vaän duïng: 
a) 9x 2 + 6xy + y 2 
b) 6x – 9 – x 2 
c) 4x 2 – 25 
d) (x + y) 2 – (x – y) 2 
e) x 6 – y 6 
f) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 
g) (x + y) 3 – (x – y) 3 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức( Nhắc lại bảy hằng đẳng thức) 
Nhóm những hạng tử thích hợp vào một nhóm có thể phân tích được. Quá trình phân tích được tiếp tục sau khi phân tích đa thức ở mỗi nhóm.Mục đích của việc nhóm hạng tử là để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức 
Vd : x 2 + xy – 3x – 3y = x( x + y ) – 3( x + y ) 
 	 = ( x + y )(x – 3 ) 
 x 2 + 4x – y 2 + 4 = ( x 2 + 4x + 4 ) – y 2 
 = ( x + 2) 2 – y 2 
 = ( x + 2 – y )( x +2 + y ) 
3./ Phöông phaùp nhoùm haïng töû: 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Baøi taäp vaän duïng : 
 a) x 2 – x – y 2 – y 
 b) x 2 – 2x – y 2 + 1 
 c) x 2 + 4x – 4y 2 + 4 
 d) 5x – 5y + ax – ay 
 e) xz – yz – x 2 + 2xy – y 2 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
3./ Phöông phaùp nhoùm haïng töû: 
4. Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp 
Phối hợp hòa hợp giữa các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử để giải. 
Vd : 
2x 2 + 4x +2 – 2y 2 = 2 (x 2 + 2x + 1 – y 2 ) 
 	 = 2 [ (x + 1) 2 – y 2 ] 
	 = 2 ( x +1 + y )( x + 1 – y ) 
x 3 - 4x 2 – 12x + 27 = (x 3 + 27) – (4x 2 + 12x) 
 	 = (x + 3) (x 2 – 3x + 9) – 4x (x + 3) 
	 = (x + 3) (x 2 – 7x + 9) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Nếu sử dụng các phương pháp trên thì trên thực tế chưa giải quyết được các bài toán như : 
 x 4 + 1; x 2 + 5x – 6 ; x 5 + x + 1 . 
Vì vậy, ta còn một số phương pháp như sau: 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
4. Phoái hôïp nhieàu phöông phaùp 
Baøi taäp: 
a) x 4 + 2x 3 + x 2 d) 2x(x + 5) – x 2 – 5x 
b) x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x e) x 2 + (x – 2 ) 2 – 4 
c) 5x 2 – 10xy + 5y 2 – 20 z 2 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
Đối với tam thức bậc 2: ax 2 + bx + c có một cách giúp học sinh tách hạng tử rất hiệu quả là tách hạng thử bậc nhất bx thành b 1 x + b 2 x . 
Bước 1 : Tìm tích ac 
Bước 2 : Phân tích ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách. 
Bước 3 : Chọn hai thừa số có tích bằng ac mà tổng bằng b . 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Vd : x 2 + 5x – 6 = x 2 – x + 6x – 6 
 	 = x( x – 1 ) + 6( x – 1 ) 
 = ( x – 1 )(x + 6) 
Ngoài phương pháp tách hạng tử bậc nhất ta còn có thể tách hạng tử bậc 0. 
 Vd: x 2 + 5x – 6 = x 2 + 5x – 5 – 1 
 = ( x – 1 )(x + 1) + 5( x – 1 ) 
	 = ( x – 1 ) (x + 6) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
Đối với đa thức không phải là tam thức bậc 2 ta vẫn có thể tách hạng tử. 
Vd1 : x 2 + 3xy + 2y 2 = x 2 + xy +2xy +2y 2 
 = x (x + y) + 2y (x +y) 	= ( x + y )(x + 2y) 
Vd 2: xy(x +y) + yz( y +z) + xz(x + z) + 2xyz 
 = [xy( x + y) + xyz ] + [yz(y + z) + xyz ] + xz(x + z) 
= xy( x + y + z ) + yz( x + y + z ) + xz(x + z) 
= (x + y + z)y( x + z ) + xz( x + z ) 
= ( x + z )(yz + y 2 + xy + xz)=(x + z)[y( y + z ) + x( y + z )] 
= ( x + y )( y + z )( z + x ) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
Vd3 : 
x 8 + x 4 + 1 = x 8 + 2x 4 + 1 – x 4 
	 = (x 4 + 1) 2 – x 4 
	 = ( x 4 + 1 + x 2 )( x 4 +1 – x 2 ) 
	 = (x 4 + 2x 2 +1 – x 2 )(x 4 + 1 – x 2 ) 
	 = [(x 2 + 1) 2 – x 2 ](x 4 + 1 – x 2 ) 
	 = ( x 2 + x + 1)( x 2 – x +1 )(x 4 + 1 – x 2 ) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
Đặc biệt : 
 Với f(x) = x 2 + (a + b) x + ab = (x + a )(x + b ) 
 g(x) = x 3 + ( a + b + c )x 2 + ( ab + ac + bc )x + abc 
 = (x + a )(x + b )(x + c ) 
Vd : x 2 + 5x + 6 = x 2 + ( 2 +3 )x + 2.3 
	 = (x + 2 )(x + 3 ) 
 x 3 + 6x 2 +11x + 6 
 = x 3 + ( 1 +2 + 3 )x 2 + ( 1.2 + 1.3 + 2.3 )x + 1.2.3 
 = (x + 1 )( x+ 2 )(x + 3 ) 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Baøi taäp : 
a) 3x 2 + 5x – 2 
b) 5x 2 + 6xy + y 2 
c) –14x 2 + 39x – 10 
d) x 3 + 2x 2 –25x – 50 
e) 4x 3 – 14x 2 + 6x	 
f) x 3 + 4x 2 – 29x + 24 g) x 3 + 21x 2 + 134x +240 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
5. Phöông phaùp taùch haïng töû 
6./ Phöông phaùp theâm bôùt haïng töû. 
Trong một số trường hợp phải thêm bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. 
Vd1: x 4 + 4 = (x 2 ) 2 + 2.x 2 .2 + 4 – 2.x 2 .2 
	 	 = ( x 2 + 2) 2 – (2x) 2 
	 = (x 2 + 2 + 2x)(x 2 +2 – 2x) 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
Vd2 x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x +1 
	 	 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) 
	 = x 2 (x – 1) (x 2 + x + 1) + (x 2 + x +1) 
	 = (x 2 + x + 1) ( x 3 – x 2 +1) 
 Ña thöùc coù daïng x a + x b + 1 thöôøng ñeàu chöùa nhaân töû x 2 + x + 1 do ñoù ñeå phaân tích caùc ña thöùc naøy ta theâm bôùt haïng töû thích hôïp hoaëc thöïc hieän pheùp chia. 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
6./ Phöông phaùp theâm bôùt haïng töû. 
Baøi taäp: 
a) x 4 + 64 
b) x 4 + 4y 4 
c) x 5 + x 4 +1 
d) x 8 + x 4 +1 
e) x 7 + x 2 + 1 
f) x 10 + x 5 + 1 
g) x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 
Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû 
6./ Phöông phaùp theâm bôùt haïng töû.