Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các phân phối xác suất đặc biệt

Ths. Nguyễn Công Trí Copyright 2001 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 	(Xem) PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 	(Xem) PHÂN PHỐI POISSON 	(Xem) CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC PHÂN PHỐI CHUẨN 	(Xem) PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG 	(Xem) PHÂN PHỐI STUDENT 	(Xem) XẤP XỈ GIỮA CÁC PHÂN PHỐI	(Xem) BÀI TẬP	(Xem) DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI Một dãy n – phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu thỏa 3 điều kiện sau: Các phép thử độc lập với nhau. Mỗi phép thử chỉ có 2 kết cục A và A/ 	Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử không đổi là P(A) = p. Thực hiện dãy n–phép thử Bernoulli. Gọi X là số lần thành công (xuất hiện) của biến cố A thì X = {0, 1, 2,..., n}. 	Ta nói X là ĐLNN có phân phối nhị thức. Ký hiệu là X ~ B(n, p). Xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần được cho bởi công thức (1) Trong trường hợp đặc biệt, n = 1 thì luật phân phối nhị thức được gọi là luật phân phối Bernoulli. ĐỊNH NGHĨA PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÍ DỤ 4.1. Tung một đồng xu công bằng 6 lần. Tìm xác suất để có đúng 2 lần xuất hiện mặt ngửa. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa trong 6 lần tung, X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} và X ~ B(6, ½) Vậy xác suất cần tìm là (1) là một phần của khai triển nhị thức	 (2) ĐỊNH NGHĨA PHÂN PHỐI NHỊ THỨC X là ĐLNN rời rạc và X ~ B(n, p), Kỳ vọng của ĐLNN X là EX = np. Phương sai của ĐLNN X làVarX = npq, với q = 1-p. np – q  Mod(X)  np – q + 1. VÍ DỤ 4.2. Tung một đồng xu 100 lần. Gọi X là số lần mặt ngửa xuất hiện trong 100 lần tung thì X = {0, 1, 2, ..., 100} và X ~ B(100, ½). Trung bình mặt ngửa xuất hiện là EX= (100)(½) = 50 lần. Phương sai VarX = 100(½)(½) = 25   = 5 Số lần ngửa tin chắc nhất là modX=50 lần ĐỊNH LÝ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Xét một tập gồm N phần tử trong đó có M phần tử có tính A. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử. Gọi X là số pt có t/c A trong n phần tử lấy ra thì X là ĐLNN rời rạc và X = {0,1,2,...,n}.Ta nói X có PP siêu bội, ký hiệu X ~ H (N, M, n). Gọi k là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử được chọn ra (k = 0,1,...,n) thì ta có ĐỊNH NGHĨA PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Cho X là ĐLNN rời rạc và X ~ H(N, M, n). Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X là EX = np. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là Độ lệch chuẩn ĐỊNH LÝ PHÂN PHỐI SIÊU BỘI VÍ DỤ 4.3. Một công ty có 40 kiện hàng trong đó có 8 kiện chất lượng không đạt tiêu chuẩn. Phân phối ngẫu nhiên 10 kiện hàng này cho một cửa hàng. Tính xác suất để cửa hàng đó nhận đúng 2 kiện hàng không đạt tiêu chuẩn. Gọi X là số kiện hàng không đạt tiêu chuẩn có trong 10 kiện hàng được phân phối. Khi đó X = {0, 1, 2, ... ,8} là ĐLNN rời rạc có luật phân phối X~ H(40, 8,10). Xác suất cần tìm: LUẬT PHÂN PHỐI SIÊU BỘI Định nghĩa. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối Poisson, ký hiệu là X ~ P(), nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,...,n với xác suất tương ứng 	Với k  n…và  là hằng số dương. Định lý. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có luật phân phối xác suất X ~ P(). EX = VarX =  LUẬT PHÂN PHỐI POISSON VÍ DỤ 4.4. Qua thống kê nhiều năm, một cửa hàng Vina Giày trung bình một giờ bán được 4 đôi giày. Tính xác suất để trong một giờ cửa hàng này bán được nhiều hơn 5 đôi. Gọi X là số đôi giày cửa hàng bán được trong một giờ thì X = {0,1, 2, ..., n} và X ~ P(4). Xác suất cần tìm: (Tra bảng IA) (Tra bảng IB) LUẬT PHÂN PHỐI POISSON Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn, ký hiệu X ~ N (, 2) nếu hàm mật độ của ĐLNN X có dạng Hàm phân phối tương ứng Nếu	là ĐLNN được chuẩn hóa ứng với X thì Z ~ N(0, 1), được gọi là phân phối chuẩn tắc, và có hàm mật độ ĐỊNH NGHĨA PHÂN PHỐI CHUẨN Nếu ĐLNN liên tục X có X ~ N (, 2) thì Kỳ vọng của X là EX =  Phương sai của X là VarX = 2 ModX =  Tính xác suất Chuẩn hoá X, với 	được gọi là hàm Laplace ĐỊNH LÝ PHÂN PHỐI CHUẨN Đồ thị của hàm mật độ chuẩn tắc f(z), còn được gọi là đường cong chuẩn tắc. Trong đồ thị này chỉ ra các diện tích có 1, 2, và 3 lần độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình, với tổng diện tích bằng một. TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN Do 	là hàm lẻ, (– z) = – (z), nên có thể suy ra giá trị (z), với mọi z 2). LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT Đồ thị của đường cong T(n) tiệm cận với trục hoành và đối xứng qua trục tung. Khi n   thì phân phối Student T(n) trùng với phân phối chuẩn tắc X~N(0,1). Tổng dt dưới đường cong T(n) bằng 1. 	 . Giá trị t (tra bảng III). ĐỒ THỊ LUẬT PHÂN PHỐI STUDENT VÍ DỤ 4.9. Cho X ~ T(13). (a) Tính xác suất P(T> 1,7709) và P(T > 1,7709). (b) Xác định giá trị t0,01. (a) Ta có P(T(n)> t) =  Vậy P(T(13)> 1,7709) = Do P(T> t) =   P(T > t) + P(T t) = /2 Vậy P(T > 1,7709) = (0,1)/2 = 0,05 (b) Ta có P(T(13)> t0,01) = 0,01  t0,01= 3,0123. ĐỊNH LÝ PHÂN PHỐI STUDENT (Tra bảng IV) 0,1 (Tra bảng IV) BẢNG PHÂN PHỐI STUDENT XẤP XỈ GIỮA CÁC LUẬT PHÂN PHỐI ? 	M pt có t/c A N pt 	N–M pt  t/c A n pt Chọn có hoàn lại Gọi X là số pt có t/c A X ~ B(n, p) 	M pt có t/c A N pt 	N–M pt  t/c A n pt Chọn không hoàn lại Gọi X là số pt có t/c A X ~ H(N, M, n) Xét tập có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử được lấy ra. Nếu lấy có hoàn lại thì có n–phép thử độc lập và X~B(n, p), với Nếu lấy ra không hoàn lại, khi đóĐLNN X có luật phân phối X~ H(N, M, n). Khi n << N, khi đó XẤP XỈ SIÊU BỘI SANG NHỊ THỨC VÍ DỤ 4.10. Công ty T&T hiện đang tồn kho 8.000 linh kiện điện tử các loại, trong đó có 2.000 linh kiện không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Một khách hàng muốn mua hết số linh kiện trên nhưng không hề biết trong lô hàng có linh kiện không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Khách hàng lấy ngẫu nhiên 10 linh kiện để kiểm tra, nếu trong 10 linh kiện lấy ra có không quá 2 linh kiện không đạt tiêu chuẩn kỷ thuật thì khách hàng đồng ý mua lô hàng trên. Tính xác suất lô hàng được mua. XẤP XỈ SIÊU BỘI SANG NHỊ THỨC Gọi X là số linh kiện không đạt tiêu chuẩn có trong 10 sản phẩm lấy ra. X = {0,1,2,...,10} và X ~ H(8.000, 2.000,10). Do n = 10 << N = 8.000 nên có thể tính xấp xỉ P(X = 2) bởi phân phối nhị thức Ta có Xác suất cần tìm XẤP XỈ SIÊU BỘI SANG NHỊ THỨC ĐLNN X có luật phân phối nhị thức X ~ B(n, p) Khi n lớn, xác suất p xảy ra của một biến cố rất gần không sao cho q = 1 – p rất gần 1, biến cố này được gọi là biến cố hiếm. Khi đó ta có thể xem ĐLNN X có luật phân phối Poisson X ~ P(), với  = np. Trong thực hành, một biến cố được xem là hiếm nếu n  50 và np  5. XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG POISSON VÍ DỤ 4.11. Một dây chuyền tự động lắp ráp xe máy có thể cho xuất xưởng xe không đạt tiêu chuẩn kỷ thuật (phế phẩm) với xác suất là 0,1%. Tính xác suất để trong 4.000 xe do dây chuyền này sản xuất ra có (a) đúng 5 phế phẩm, (b) không quá 5 phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm do dây chuyền sản xuất, X = {0,1,...,4.000} và X ~ B(4.000; 0,001). Với n = 4.000 (lớn) và p = 0,001 (nhỏ) nên ta có thể xem ĐLNN rời rạc X có phân phối Poisson. XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG POISSON với  = np = 40000,001 = 4 hay X~ P(4) Xác suất có đúng 5 phế phẩm. Xác suất có không quá 5 phế phẩm. (Tra bảng IA) (Tra bảng IB) XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG POISSON BẢNG IA PHÂN PHỐI POISSON X  P() BẢNG IB PHÂN PHỐI POISSON X  P() Nếu n lớn và p hoặc q không quá gần không, luật phân phối nhị thức có thể xấp xỉ bằng luật phân phối chuẩn với ĐLNN được chuẩn hóa trong đó X là số lần thành công trong n lần thử Bernoulli và p là xác suất thành công. Trong thực hành, phương pháp xấp xỉ này rất tốt nếu cả hai np và nq đều lớn hơn 5. XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG CHUẨN TRƯỜNG HỢP 1: Tính P(X= k) Cách 1. Sử dụng hàm phân phối trong đó Cách 2. Sử dụng hàm mật độ 	 Trong đó: 	và XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG CHUẨN VÍ DỤ 4.12. Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất là 0,485. Tính xác suất sao cho trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có đúng 95 sản phẩm loại A. Gọi X là số SP loại A thì X ~ B(200; 0,485). Xấp xỉ sang chuẩn X ~ N(97; 49,955) Cách 1. Dùng hàm phân phối P(X = 95) = P(94,5 ≤ X ≤ 95,5) 	= (–14,78) – (–14,92) = 0,0542 Cách 2. Dùng hàm mật độ (Tra bảng I) XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG CHUẨN BẢNG I HÀM MẬT ĐỘ TRƯỜNG HỢP 2. Tính P(a  X  b) X ~ B(n, p), xấp xỉ X ~ N(, 2) = N(np, npq). Trong đó là hàm phân phối Laplace của Z ~ N (0,1). XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG CHUẨN VÍ DỤ 4.13. Xác suất một máy có thể sản xuất ra sản phẩm loại A là 0,25. Tính xác suất trong 80 sản phẩm do máy này sản xuất ra có từ 25 đến 30 sản phẩm loại A. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 80 sản phẩm thì X={0,1,..., 80} và X ~ B(80; 0,25). Do n=80; p=0,25; có thể xấp xỉ X~N(20, 15). Xác suất cần tìm: (Tra bảng II) XẤP XỈ NHỊ THỨC SANG CHUẨN BẢNG II PHÂN PHỐI CHUẨN Ths. Nguyễn Công Trí Copyright 2001 LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] LUẬT PHÂN PHỐI SIÊU BỘI [17]	[59]	[60]	[61] LUẬT PHÂN PHỐI POISSON [15] 	[16]	[55]	[56]	[57]	[58] LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN [8]	[9]	[10]	[11]	[37]	[38]	[39]	[40]	[41] [42]	[43]	[44]	[45]	[46]	[47]	[48]	[49]	[50] BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Ths. Nguyễn Công Trí