Bài ôn tập luyện thi phần Lượng giác

Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
	1. Góc và cung lượng giác:
	*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2pR và có số đo bằng 3600.
	*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng và có số đo 10.
	*. Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 £ a £ 360) thì có độ dài bằng .
	*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
	*. Cung có số đo bằng a0 ứng với a radian công thức đổi đơn vị là: .
	*. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.a. y
	*. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này 
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy.
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+).
	Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ.
	*. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C.
	*. Số đo của góc và cung lượng giác:
	sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = a + k2p.
	sđAM = a0 + k3600 hoặc sđAM = a + k2p.
 y
 B S
 M
 P T
 A’ O Q A x
 B’
	*. Hệ thức Sa-lơ:
 + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
 + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn 
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
 2. Các công thức lượng giác cơ bản:
 Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = a + k2p (k Î Z).
Ta có: 
	Nhận xét: - 1 £ cosa £ 1,	- 1 £ cosa £ 1.
cos(a + k2p) = cosa, sin(a + k2p) = sina, tan(a + kp) = tana, cot(a + kp) = cot a.
	tana = xác định khi a ¹ cota = xác định khi a ¹ a ¹ kp 
	sina = tanacosa, cosa = cotasina, tanacota = 1, sin2a + cos2a + 1.
	*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
TS .
0
p
sin
0
1
0
cos
1
0
-1
tan
0
1
÷÷
-1
0
cot
÷÷
1
0
-1
÷÷
	3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
	*. Cung đối nhau: - a và a:
cos(-a) = cosa, sin(-a) = - sina, tan(-a) = - tana, cot(-a) = - cota.
	*. Cung bù nhau: p - a và a:
sin(p - a) = sina, cos(p - a) = - cosa, tan(p - a) = - tana, cot(p - a) = - cota.
	*. Cung hơn kém p: p + a và a:
sin(p + a) = - sina, cos(p a) = - cosa, tan(p + a) = tana, cotp + a) = cota.
	*. Cung phụ nhau: - a và a:
sin = cosa, cos = sina, tan = cota, cot = tana.
	*. Cung hơn kém : + a và a:
sin = cosa, cos = - sina, tan = - cota, cot = - tana.
4. Các công thứ lượng giác khác:
	*. Công thức cộng:
	cos(a + b) = cosacosb – sinasinb, sin(a + b) = sinacosb + cosasinb.
	cos(a– b) = cosacosb + sinasinb, sin(a– b) = sinacosb – cosasinb.
	tan(a + b) = , tan(a– b) = .
	*. Công thức nhân đôi:
	cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 – 2sin2a;
sin2a = 2sinacosa; tan2a = 
*. Công thức hạ bậc:
sinacosa = 
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb = 
sinasinb = -
*. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosa + cosb = 	cosa – cosb = 
sina + sinb = 	sina – sinb =
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
	1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số do sau: - 450, 12000, - 8300.
 b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM có số đo bằng: 
	 c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b).
	2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác a biết cosa ³ 0,5. Tìm miền giá trị của sina, tana và cota.
	3. Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x;	b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;
h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;
i) 
4. Rút gọn các biểu thức sau:
	5. Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
	 S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.
	6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
	A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a); 
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x; 
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
	A = sin60.sin420.sin660.sin780; 
8. a) Cho cosx = - Tính sinx, tanx và cotx.
 b) Biết tan Tính 
 c) Biết tana + cota = m, tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
 d) Cho sina + cosa = m với Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
C = cos100.cos500.cos700;	D = cos200.cos400.cos800.
E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400.
F = sin100.sin500.sin700;	 H = tan50tan550tan650.
H = tan90 – tan270 – tan630 + tan810; I = cos100cos200cos300. . . cos800.
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = 
b) 
12) Chứng minh rằng:
	a) Nếu thì tanxtany = b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì 
	13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
	 b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
	14. CMR: trong mọi DABC ta đều có:
	a) sinA + sinB + sinC = 
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
h) 
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
	l) S = 2R2sinAsinBsinC;
15. CMR: trong mọi DABC ta đều có:
 d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để DABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1;	b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.
18. Chứng minh DABC vuông khi:
19. Chứng minh rằng DABC là vuông hoặc cân khi:
20. Chứng minh rằng DABC là cân khi và chỉ khi:
21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); 
22. CMR: DABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); 
23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C £ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
 g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
A, B, C là nghiệm của phương trình: 
24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
(ĐH An ninh 1998)
25. CMR: nếu ba góc A, B, C của DABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998)
26. Cho DABC có các góc thỏa . CMR: 
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
27. Cho DABC. CMR: 2b = a + c Û (ĐH Cần thơ 1998)
29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998)
30. Cho DABC. CMR:
	 (ĐH Dược hà nội 1998)
31. Cho DABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	M = 3cosA + 2(cosB + cosC). 	 (ĐH Luật Hà nội 1998)
32. Cho DABC. CMR: 	 (ĐH Ngoại ngữ 1998)
33. CMR: trong mọi DAC ta đều có:
(ĐH Ngoại thương 1998)
34. Cho DABC sao cho: . Tính các góc của DABC.
(ĐH Ngoại thương 1998)
35. CMR: trong mọi DABC ta luôn có:
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
 CMR: DABC đều.
 b) DABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: .
(ĐH An ninh 1999)
37. CMR: điều kiện cần và đủ để DABC đều là có hệ thức:
 	 (ĐH Bách khoa Hà nội 1999).
38. CMR: Điều kiện cần và đủ để DABC vuông là: 
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. 	(ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39. DABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC).
CMR: DABC là tam giác đều. 	(ĐH Dược Hà nội 1999).
40. CMR: nếu DABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) thì DABC cân.
(ĐH Hàng hải 1999).
41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).