Bài tập Đại số - Giải tích 11

 đối với hàm số sin 
 * asin2x+bsinx+c=0 
 Đặt sinx=t đk khi đó ta có : at2+bt +c=0 
 BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 
 1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/ 
 4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 6/ sin23x-2sin3x-3=0
 7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/ cos2x+sinx+1=0
 10/ cos2x+5sinx+2=0	 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12>
B>Phương trình bậc hai đối với hàm số cos .
 * acos2x+bcosx+c=0 
 Đặt cosx=t đk khi đó ta có : at2+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 
1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin2x+5cosx+1=0 3>cos2-4cosx+5/2=0
4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0
7/ 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin2x-2cos2x+cos2x=0	
10>sin2x+cos2x+cosx=0 11>
12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x
C>Phương trình bậc hai đối hàm tan và cot
 * atan2x+btanx+c=0 
 Đk 	
 Đặt tanx=t khi đó ta có : at2+bt +c=0
 * acot2x+bcotx+c=0
 Đk : 
 Đặt cotx=t khi đó ta có : at2+bt +c=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình sau : 
1>tan2x-tanx-2=0
2>
3>
4>
3>Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos .
 Phương trình có dạng : Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x=D
 +B1: xét cosx=0
 +B2 : với chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được : 
 (A-D)tan2x+Btanx+C-D=0
BÀI TẬP : Giải các phương trình : 
4> Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .
(Nhắc lại công thức cộng : cosacosb+sinasinb=cos(a-b)
 Sinacosb+sinbcosa=sin(a+b) 
 Phương trình có dạng : asinx +bcosx =c
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện là : 
Khi đó ta chia hai vế của phương trình với khi đó ta được : 
 Do nên đặt : 
Khi đó ta được : 
Bài tập : Giải các phương trình : 
 PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 
I>QUI TẮC ĐẾM .
 a>Qui tắc cộng .
 Một công việc được hoàn thành bởi hành động một hoặc hành động hai . Nếu hành động một có m cách thực hiện , hành động hai n cách thực hiện không trùng với bất kỳ hành động nào của hành động một thì công việc đó có m+n cách thực hiện .
 b>Qui tắc nhân .
 Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách hoàn thành cộng việc .
BÀI TẬP 
II>HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
 a>Hoán vị : 
 Có tập hợp A gồm n phần tử . Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của b phần tử .
 Ví dụ : A={1,2,3} thì 123,321,213  là những hoán vị .
 Ta viết số hoán vi của n phần tử là : Pn=n!=n(n-1)(n-2)..3.2.1 . 
 b>Chỉnh hợp : 
 Cho tập A gồm n phàn tử . Kết quả lấy k phần tử của n phần tử tập hợp A và sắp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần phần tử đã cho 
 Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là : .
 c>Tổ hợp 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập đã cho .
 Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là : 
 Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người hỏi : 
 a/ Có tất cả bao nhiêu cách .
 b/ Có bao nhiêu cách thành lập đoàn đại biểu chỉ có 3 nam và 2 nữ .
III>NHỊ THỨC NIU TƠN 
 Công thức sau gọi là công thức nhị thức niu tơn 
 Số hạng thứ k+1 là : .
BÀI TẬP : TỔ HỢP –XÁC SUẤT .
Sử dụng qui tắc cộng , qui tắc nhân , hoán vị và chỉnh hợp 
Bài 1 : CHo một hộp đựng 5 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 5 và 10 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 15 . có bao nhiêu cách chọn một viên bi ? 
Bài 2 : Có 7 cuốn sách toán khác nhau , 10 cốn sách văn khác nhau và 3 cuốn sách lý khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn cách để học ?
Bài 3 : Có 5 cửa hàng bán sách , cửa hàng 1 chỉ bán 100 cuốn sách toán , cửa hàng 2 bán 200 cuốn sách văn , của hàng 3 chỉ bán 50 cuốn cách lý và 50 cuốn sách địa , cửa hàng 4 chỉ bán 150 sách hoá , của hàng 5 chỉ bán 150 sách sinh và 50 sách kỹ thuật .
 Hỏi có bao nhiêu cách chọn cửa hàng để mua sách .
CÁC BÀI TẬP VỀ SỐ 
Bài 3 : CHo tập hợp số : {1,2,3,4} . Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :
Có hai chữ số đôi một khác nhau ?
Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? 
Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Bài 4: Từ tập hợp số {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách chọn một số tự nhiên :
Có hai chữ số đôi một khác nhau .
3 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 ?
Có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 ? 
Bài 5 : Từ tập hợp số : {0,1,2,3,4,5) ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
Có hai chữ số đôi một khác nhau ?
Có 3 chữ số đôi một khác nhau ? 
Là số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau ? 
Bài 6 : Từ tập số tự nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên 
Có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
Có 8 chữ số đôi một khác nhau ? 
Bài 7 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 . Có biêu cách lập một số tự nhiên
Là số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau ? 
Là số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ? 
Bài 8 : Từ các số : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2 .
Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3
Có 5 chữ số khác nhau và luôn nhỏ hơn 550 
Bài 9: Từ các số : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên :
Có 3 chữ số khác nhau .
Có 4 chữ .
Là số lẻ và có 4 chữ số và đôi một khác nhau .
Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau ?
Bài 10 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các lập một số tự nhiên : 
Số có 4 chữ số đôi một khác nhau .
Số có 5 chữ số .
Số có 3 chữ số chia hết cho 5 .
Số có 4 chữ số trong đó luôn có chữ số 1 .
Bài 11: Từ các số : 0,4,5,7,8,9 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
Có 4 chữ số đôi một khác nhau .
Có 3 chữ số và luôn có mặt chữ số 9 .
Có 3 chữ số và lớn hơn 400 .
Bài 12 : Từ các số 0,2,3,4,5,6 Ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
là số chẵn có 3 chữ số .
số có 4 chữ số và luôn có mặt chữ số 5 .
Số có 3 chữ số và lớn hơn 250 .
Bài 13 : Từ các số : 0,2,4,5,6,8,9 . Ta có thê lập được bao nhiêu số tự nhiên : 
Có 3 chữ số và đôi một khác nhau .
Có 4 chữ số đôi một khác nhau là luôn có mặt số 5 .
CÁC BÀI TẬP VỀ NGƯỜI VÀ VẬT 
Bài 14 : Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau .
Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau .
Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt .
Bài 15 : Trong một phong học có hai bàn dài mỗi bàn 5 ghế , người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu : 
 a> Các học sinh ngồi tuỳ ý .
b> Các học sinh nam ngồi một bàn và các học nữ ngồi một bàn .
Bài 16 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho :
 a> Bạn C ngồi chính giữa .
 b>Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu mút .
Bài 17 : Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc 
Có bao nhiêu cách sếp khác nhau .
Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng gới đứng cạnh nhau .
Bài 18 : Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen đánh dấu mỗi loại theo các số 1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách xếp các thể này theo một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm cạnh nhau .
Bài 19 : Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phai đứng cạnh nhau .
Bài 20 : Có 15 học sinh gồm 8 nam và 7 nữ . Có bao nhiêu cách chọn 4 người để lập được một ban đại diện trong đó có ít nhất là 2 nam và 1 nữ .
Bài 21 : Một đội ngũ cán bộ gồm có 5 nhà toán học 6 nhà vậ lý , 7 nhà hóc học . Chọn từ đó ra 4 người để dự hội thảo khoa học .Có bao nhiêu cách chọn nếu: 
Phải có đủ 3 môn .
Có nhiều nhất 1 nhà toán học và có đủ 3 môn .
Bài 22 : Từ 12 học sinh ửu tú của trường ngươi ta muốn chọn ra một ban đại diện gồm 5 người gồm 1 trường đoàn ,1 thư ký và 3 thành viên đi dự trại hè quốc tế . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban đại biểu như thế .
Bài 23 : Một hộp đựng 12 bóng đèn trong đó có 4 bóng đèn bị hỏng . Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn ra khỏi hộp , có bao nhiêu cách lầy để có một bóng bị hỏng .
Bài 24 : Một hộp đựng 4 viên bị đỏ , 5 viên bi trắng , 6 viên bi vàng , người ta chọn ra 4 viên bị từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra có đủ 3 màu .
Bài 25 : Có 5 tem thư và 6 bì thư khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 tem thư và 3 bì thư để 3 tem thư dán vào 3 bì thư chọn ra .
Bài 26A : Có bảy bông hoa khác nhau và ba lọ hoa khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ hoa ( mỗi lọ cắm một bông ) 
Bài 26B : Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất 2 cán bộ lớp .
Bài 27 : Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu : 
Mọi người đều vui vẽ tham gia .
 Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia .
Bài 28 : một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
Nếu ít nhất hai nữ .
Nếu chọn tuỳ ý .
Bài 29 : Một đội văn nghệ 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ , Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho : 
Có đúng 2 nam .
Có ít nhất 2 nam và 1 nữ .
Bài 30 : Một hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi trắng và 5 bi vàng .Chọ ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó , hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu .
SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN 
Bài 31 : Hãy khai triển các nhị thức sau thành đa thức :
Bài 31 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : , ,
Bài 32 : Tìm hệ số của x5 trong nhị thức sau : , ,
Bài 33 : Tìm hệ số của x3 trong nhị thức sau : ,
Bài 34: Biết hệ số của x2 trong khai triển (1-3x)n là 90 . Tìm n ?
Bài 35 : Tìm hệ số không chứa x trong khai triển .
Bài 36 : Tìm hệ số khồng chứa x trong khai triển : .
Bài 37 : Tìm số hạng không chưa x trong khai triển sau : .
Bài 38 : Tìm hệ số của x31 trong khai triển nhị thức .
IV>PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 
1/ PHÉP THỬ .
 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử .
 Ví dụ : Gieo một đồng tiến , gieo một con súc sắc , rút một con bài từ bộ bài ,.
2/KHÔNG GIAN MẪU 
 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và ký hiệu là đọc là ô mê ga .
 Ví dụ : tìm không gian mẫu của các phép thử sau : 
 1/Gieo một đồng tiến hai lần . 
 2/Gieo một con súc sắc hai lần .
 3/Từ các số 1,2,3 tìm các số có 3 chữ số .
3/BIẾN CỐ 
 Biến cố là một tập con của không gian mẫu .
 Tập gọi là biến cố không thể , tập gọi là biến cố chắc chắn .
 Chú ý : biến cố có thể cho dưới dạng là một mệnh đề mô tả tập hợp , hoặc cho dưới dạng là một tập con của không gian mẫu .
 Ví dụ : 
 1/gieo một đồng tiền hai lần , Hãy xác định biến cố : 
 A”Mặt sấp xuất hiện lần đầu tiên “
 B”có ít nhất là một mặt sấp “
 2/Giéo một con súc sắc hai lần , Hãy xác định biến cố :
 A”Hai lần gieo có số chấm bằng nhau “
 B”Hai lần gieo có tổng số chấm bằng 6 “ 
 3/Từ các số 1,2,3 , lập số có ba chữ số . Hãy xác định biến cố : 
 A”Số có ba chữ số bằng nhau “
 B”là số chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau “ 
BÀI TẬP :
Bài 1 : Gieo một con súc sắc cân đối , đồng chất và quan sát sự cố xuất hiện .
 a>Mô tả không gian mẫu .
 b>xác định các biến cố sau .
 A:”Xuất hiện mặt chẵn chấm “
 B:”Xuất hiện mặt lẻ chấm “
 C:”Xuất hiện mặt có chấm không nhỏ hơn 3 “ 
 c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc .
 Bài 2 : Một hộp đựng 3 bi trắng được đánh số tử 1 đến 3 , 2 bi đỏ được đánh số từ 4 đến 5 , lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi :
 a>Xây dựng không gian mãu .
 b>Xác định các biến cố : 
 A:”Hai bi cùng màu trắng “
 B:”Hai bi cùng màu đỏ “ 
 C:”Hai bi cùng màu “ 
 D:”Hai bi khác màu “ 
 c>Trong các biến cố trên hãy tìm các biến cố xung khắc ..
Bài 3 : Gieo một đồng tiền 3 lần và quan sát hiện tượng mặt sấp và mặt ngữa .
Xây dựng không gian mẫu .
Xác định các biến cố : 
A:”Lần gieo đầu tiên mặt sấp “ 
B:”Ba lần xuất hiện các mặt như nhau “
C:”đúng hai lần xuất hiện mặt sấp “
 Bài 4 : Gieo một đồng tiền và một con súc sắc quan sát mặt sấp ,mặt ngữa , số chấm suất hiện của con súc sắc .
xây dựng không gian mẫu .
Xác định các biến cố sau : 
 A:”đồng tiền suất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm “
 B:”Đồng tiền suất hiện mặt ngữa và con súc sắc suất hiện mặt lẻ chấm “ 
 C:”Mặt 6 chấm xuất hiện “ 
 Bài 5 : Gieo một đồng tiền 3 lần : 
Xây dựng không gian mẫu .
Xác định các biến cố sau : 
 A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp “
 B:”Mặt sấp xẫy ra đúng một lần “ 
 C:”Mặt ngữa xẫy ra đúng một lần “ 
 Bài 6 : Gieo một con súc sắc 2 lần : 
Mô tả không gian mẫu .
Phát biều biến cố sau dưới dạng mệnh đề :
 A:”{(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}
 B:”{(2;6),(6;2),(3;5),(5;3),(4;4)}
 C:”{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5),(6;6)}.
 Bài 7 : Trong một hộp đựng 4 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 4 , lấy ngẫu nhiên hai thẻ : Mô tả không gian mẫu .
Xác định các biến cố sau : 
 A:”Tổng các số trên hai thẻ là chẵn “
 B:”Tích các số trên hai thẻ là chẵn “ .
 Bài 8 : Từ một hộp đựng 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 , lấy liên tiếp hai lần một lần một quả và xếp thứ tự từ trái sang phải .
Mô tả không gian mẫu .
Xác định các biến cố sau : 
 A:”Chữ số đầu lớn hơn chữ số sau “ 
 B:”Chữ số trước gấp đôi chữ số sau “ 
 C:”Hai chữ số bằng nhau “.
V>XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 
 1>ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 
Giả sử A là biến cố có liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện .Tỷ số gọi là xác suất của biến cố A ký hiệu là : P(A) 
 n(A) là số phần tử của tập A ( Hay số kết quả thuận lợi cho biến cố A )
 số kết quả có thể xảy ra của phép thử .
 BÀI TẬP : 
1>Gieo một con súc sắc hài lần , tính xác suất các biến cố sau : 
 a/ Tổng của hai lần gieo bằng 6 chấm 
 b/ Lần gieo đầu bằng 6 
 c/ Tích của hai lần gieo là một số chẳn .
 d/ Hai lần gieo có số chấm bằng nhau .
2> Một tổ có 7 nam và 3 nữ , chọn ngẫu nhiêu hai học sinh . Tính xác suất sao cho : 
 a/ Cả hai học sinh là nữ .
 b/ không có nữ nào .
 c/ có ít nhất là một nam .
 d/ có đúng một hs là nữ .
 3> Một hộp đựng 5 viên bi trắng , 7 viên bi đỏ , chọn ngẫu nhiên 3 viên bi . Tính xác suất để : 
 a/ 3 viên bi cùng màu .
 b/ có đúng 3 bi đỏ .
 c/ có ít nhất là hai bi trắng .
 d/ có đủ hai màu .
4> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một cái bàn tròn , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .
5> Có 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một cái bàn dài , tìm xác suất để nam nữ ngồi xen kẻ nhau .
6>Một hộp đựng 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu được đánh số tử 1 đến 20 lấy ngẫu nhiên một quả cầu . Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn : 
 a/Ghi số chẵn .
 b/Mầu đỏ .
 c/Mầu đỏ và ghi số chẵn .
 d/Mầu xanh hoặc ghi số lẻ .
7>có 7 học sinh học môn anh văn và 8 học sinh học pháp văn và 9 học sinh học tiếng nhất . chọn ngẫu nhiên 3 học sinh . Tính xác suất để : 
 a/ chọn đúng có hai thứ tiếng trong đó có hai học sinh học tiếng anh .
 b/ Chọn có đúng ba thứ tiếng . 
8>Một lớp có 60 học sinh trong đó 40 học sinh học tiếng ành , 30 học sinh học tiếng pháp , 20 học sinh học cả tiếng ành và tiếng pháp . Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh . Tính xác suất của các biến cố sau : 
 a/Sinh viên được chọn học tiếng ành .
 b/sinh viên được chọn chỉ học tiếng pháp .
 c/Sinh viên được chọn không học tiến anh và tiếng pháp .
PHẦN III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 
I>PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC .
 Khi chứng minh một mệnh đề phù thuộc vào số tự nhiên n thì ta dùng phương pháp qui nạp toán học. Thực hiện phương pháp qui nạp toán học theo các bước sau : \
 B1 : Kiểm tra mệnh đề với n=1 (2,3,) (Nếu mệnh đề đúng thì vào bước 2 ) .
 B2 : Giả sử mệnh đề đúng với n=1 ( gọi là giả thiết qui nạp ) 
 B3 : Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 .
 BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC .
Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc vào N* . 
 1/ 2+5+8++(3n-1)=. 2/ 3+9+27++3n = 
 3/ 12+22+32++(2n-1)2= 4/ 13+23+33++m3=
 5/ 1+2+3++n= 6/ 22+42++(2n)2=
 7/ 12+22+32++n2= 8/
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi ta có : 
 1/ n3-n chia hết cho 3 . 2/ n3+3n2+5n chia hết cho 3 .
 3/ 11n+1+122n -1 chia hết cho 133 . 4/ 2n3 -3n2 +n chia hết cho 6 .
 5/ 4n+15n-1 chia hết cho 9 . 6/ 13n -1 chia hết cho 6 .
 7/ 32n+1+2n+2 chia hết cho 7 8/ 32n+2+26n+1 chia hết cho 11 .
 Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi ta có : 
 1/ 2n>2n+1 2/ 3n>3n+1 3/ 2n+1>2n+3 4/ 2n+2>2n+5 
II> DÃY SỐ .
 1>Định nghĩa dãy số : 
 * Hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn ký hiệu (un) , ta viết 
 Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,,un,
 Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , un gọi là số hạng tổng quát .
 * Hàm số u xác định trên tập số M={1,2,3,4,,m) với m thuộc tập số tự nhiên N* gọi là dãy số hữu hạn ký hiệu (un) ,ta viết 
 Viết dãy số dạng khai triển u1,u2,,um .
 Trong đó u1 gọi là số hạng đầu , um gọi là số hạng cuối .
2>cách cho một dãy số .
 a/Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát un .
 Ví dụ :Cho dãy số (un) : un=2n+1
 b/Cho dãy số bởi biểu thức truy hồi .
 +Cho số hạng đầu hoăc một vài số hạng đầu .
 +Cho biểu thức truy hồi ( Biểu thức truy hồi là biểu thức biểu diễn số hạng thứ un qua số hạng đứng trước nó hoặc một vài số hạng đứng trước nó ) .
 Ví dụ : Cho dãy số : 
3>Dãy số tăng và dãy số giảm .
 +Một dãy số (un) gọi là số tăng nếu un+1>un với mọi n thuộc vào N* .
 + Một dãy số (un) gọi là số giảm nếu un+1<un với mọi n thuộc vào N* .
 Chú ý Để chứng minh một dãy số là tăng hay giảm thì ta thực hiện theo một trong hai cách : 
 C1: Lập tỷ số An= un+1-un 
 Nếu An >0 thì đó là dãy tăng , còn An<0 thì đó là dãy giảm .
 C2 : Lập tỷ số : An = 
 Nếu An >1 thì dãy số là dãy tăng , còn nhỏ hơn 1 thì dãy số là dãy giảm . 
4>Dãy số bị chặn 
 +Một dãy số (un) gọi là bichặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un M với mọi n thuộc vào N* .
 + Một dãy số (un) gọi là chặn dưới tồn tại số thực m sao cho un với mọi n thuộc vào N* .
BÀI TẬP 
Bài 1 : Viết 6 số hạng đầu tiên của các dãy số sau . 
Bài 2 : Xét tính tăng , giảm của các dãy số sau : 
III>CẤP SỐ CỘNG 
 1>Định nghĩa :
Một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn trong đó kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bắng số hạng đứng ngay trước nó cộng thêm một số không đổi d .(d gọi là công sai của câp số cộng ) .
 un+1=un+d 
 2>Số hạng tổng qúat : 
 Cấp số cộng có công sai d và số hạng đầu là u1 thì số hạng tổng quá là : un=u1+(n-1)d 
3>Tính tổng của n số hạng đầu tiên : 
BÀI TậP 
Bài 1 : Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng ? khi đó tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó ?
Bài 2 : Cho dãy số : un=9-5n 
 a/Viết 5 số hạng đầu của dãy số .
 b/Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng ? Xác định số hạng đầu và công sai 
 c/Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .
Bài 3 : Tìm công sai và tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau : 
 a/ (un) : 4,7,10,13,16,
 b/ (un) : 1,6,11,16,
Bài 4 : tính u1 và công sai d của cấp số cộng sau biết : 
 a/ b/ c/ d/ 
 e/ i/ 
Bài 5 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21và tổng bình phương của chúng bằng 155 .
Bài 6 : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng các số hạng đó là 143 ,hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 36 .
Bài 7 : tính số đó ba góc của tam giác ABC biết số đo ba góc đó là cấp số cộng .
PHẦN IV : GIỚI HẠN 
I > GIỚI HẠN DÃY 
 1/Định nghĩa 1 : dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số dương nào đó trở đi . ký hiệu : hay 
 2/Định nghĩa 2 : dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a khi n dần tới nếu .
 Ký hiệu : hay .
 3/Một vài giới hạn đắc biệt :
 4/Một số tính chất 
a)Nếu thì 
b)Nếu với mọi n và thì 
Chú ý : thì ta có thể viết limun=a 
5/Giới hạn vô cực 
 a/Định nghĩa ; 
 .Ta nói dãy số un có giới hạn khi nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó trở đi ký hiệu : .
.Ta nói dãy số un có giới hạn