Bài tập giải tích 12 - Tập 4: Số phức

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ---- 
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 
TẬP 4 
ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC 
Năm 2009 
Số phức Trần Sĩ Tùng 
Trang 102 
1. Khái niệm số phức 
 · Tập hợp số phức: C 
 · Số phức (dạng đại số) : z a bi= + 
 (a, b RỴ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) 
 · z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0) 
 z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0) 
 Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 
 · Hai số phức bằng nhau: '’ ’ ( , , ', ' )
'
a aa bi a b i a b a b R
b b
ì =+ = + Û Ỵí =ỵ
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b )RỴ được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay 
bởi ( ; )u a b=r trong mp(Oxy) (mp phức) 
3. Cộng và trừ số phức: 
 · ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ + + = + + + · ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ - + = - + - 
 · Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi 
 · ur biểu diễn z, 'ur biểu diễn z' thì 'u u+r r biểu diễn z + z’ và 'u u-r r biểu diễn z – z’. 
4. Nhân hai số phức : 
 · ( ) ( ) ( ) ( )' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i+ + = + + 
 · ( ) ( )k a bi ka kbi k R+ = + Ỵ 
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= - 
 · 1 1
2 2
; ' ' ; . ' . ';
z z
z z z z z z z z z z
z z
ỉ ư
= ± = ± = =ç ÷
è ø
; 2 2.z z a b= + 
 · z là số thực Û z z= ; z là số ảo Û z z= - 
6. Môđun của số phức : z = a + bi 
 · 2 2z a b zz OM= + = =
uuuur
 · 0, , 0 0z z C z z³ " Ỵ = Û = 
 · . ' . 'z z z z= · 
' '
z z
z z
= · ' ' 'z z z z z z- £ ± £ + 
7. Chia hai số phức: 
 · 1
2
1
z z
z
- = (z ¹ 0) · 1
2
' ' . '.'
.
z z z z z
z z
z z zz
-= = = · ' 'z w z wz
z
= Û = 
I. SỐ PHỨC 
CHƯƠNG IV 
SỐ PHỨC 
Trần Sĩ Tùng Số phức 
Trang 103 
8. Căn bậc hai của số phức: 
 · z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + Û 2z w= Û 
2 2
2
x y a
xy b
ì - =í
=ỵ
 · w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 
 · w 0¹ có đúng hai căn bậc hai đối nhau 
 · Hai căn bậc hai của a > 0 là a± 
 · Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i± - 
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0¹ ). 
 2 4B ACD = - 
 · 0D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2
B
z
A
- ± d
= , ( d là 1 căn bậc hai của D) 
 · 0D = : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2
B
z z
A
= = - 
 Chú ý: Nếu z0 Ỵ C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là một nghiệm của (*). 
10. Dạng lượng giác của số phức: 
 · (cos sin )z r i= j + j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ¹ 0) 
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r
ì
ï = +
ïïÛ j =í
ï
ï j =
ïỵ
 · j là một acgumen của z, ( , )Ox OMj = 
 · 1 cos sin ( )z z i R= Û = + Ỵj j j 
11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác 
 Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')z r i z r i= j + j = j + j : 
 · [ ]. ' ' . cos( ') sin( ')z z rr i= j + j + j + j · [ ]cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
= j - j + j - j 
12. Công thức Moa–vrơ: 
 · [ ](cos sin ) (cos sin )n nr i r n i nj + j = j + j , ( *n NỴ ) 
 · ( )cos sin cos sinni n i nj + j = j + j 
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: 
 · Số phức (cos sin )z r i= +j j (r > 0) có hai căn bậc hai là: 
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i
và r i r i
ỉ ưj j
+ç ÷
è ø
é ùỉ ư ỉ ư ỉ ưj j j j
- + = + p + + pç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û
 · Mở rộng: Số phức (cos sin )z r i= +j j (r > 0) có n căn bậc n là: 
 2 2cos sin , 0,1,..., 1n k kr i k n
n n
ỉ ư+ +
+ = -ç ÷
è ø
j p j p 
Số phức Trần Sĩ Tùng 
Trang 104 
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia 
 Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. 
 Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. 
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 
 a) ( ) ( ) ( )4 – 2 3 – 5i i i+ + + b) 12 2
3
i i
ỉ ư
- + -ç ÷
è ø
 c) ( ) 2 52 3
3 4
i i
ỉ ư
- - -ç ÷
è ø
 d) 1 3 13 2
3 2 2
i i i
ỉ ư ỉ ư
- + - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 e) 3 1 5 3
4 5 4 5
i i
ỉ ư ỉ ư
+ - - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 f) ( )( )2 3 3i i- + 
 g) 
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3 h) 
i21
3
+
 i) 
i
i
-
+
1
1 
 k) 
mi
m l) 
aia
aia
-
+ m) 
)1)(21(
3
ii
i
+-
+ 
 o) 1
2
i
i
+
-
 p) 
ai
bia + q) 2 3
4 5
i
i
-
+
Bài 2. Thực hiện các phép toán sau: 
 a) ( ) ( )2 21 1–i i+ - b) ( ) ( )3 32 3i i+ - - c) ( )23 4i+ 
 d) 
3
1 3
2
i
ỉ ư
-ç ÷
è ø
 e) 22
22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
--+ f) ( )62 i- 
 g) 3 3( 1 ) (2 )i i- + - h) 100(1 )i- i) 5(3 3 )i+ 
Bài 3. Cho số phức z x yi= + . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 
 a) 2 2 4z z i- + b) 
1-
+
iz
iz 
Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R: 
 a) 2 1a + b) 22 3a + c) 4 24 9a b+ d) 2 23 5a b+ 
 e) 4 16a + f) 3 27a - g) 3 8a + h) 4 2 1a a+ + 
Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức: 
 a) 1 4 3i- + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i- - d) 5 12i- + 
 e) 4 5
3 2
i- - f) 7 24i- g) 40 42i- + h) 11 4 3.i+ 
 i) 1 2
4 2
i+ k) 5 12i- + l) 8 6i+ m) 33 56i- 
VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức 
 Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình. 
Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): 
 a) 02 =+ zz b) 022 =+ zz 
 c) izz 422 -=+ d) 02 =- zz 
 e) 2 1 8z z i- = - - f) ( )4 5 2i z i- = + 
Trần Sĩ Tùng Số phức 
Trang 105 
 g) 1
4
=÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
iz
iz h) 
i
iz
i
i
+
+-
=
-
+
2
31
1
2 
 i) 2 3 1 12z z i- = - k) ( ) ( )23 2 3i z i i- + = 
 l) 0)
2
1](3)2[( =+++-
i
izizi m) 1 13 3
2 2
z i i
ỉ ư
- = +ç ÷
è ø
 o) 3 5 2 4i i
z
+
= - p) ( )( )23 2 5 0z i z z+ - + = 
 q) ( )( )2 29 1 0z z z+ - + = r) 3 22 3 5 3 3 0z z z i- + + - = 
Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x): 
 a) 01.32 =+- xx b) 02.32.23 2 =+- xx 
 c) ( )2 3 4 3 0x i x i- - + - = d) 23 . 2 4 0i x x i- - + = 
 e) 23 2 0x x- + = f) 2. 2 . 4 0+ - =i x i x 
 g) 33 24 0x - = h) 42 16 0x + = 
 i) 5( 2) 1 0x + + = k) 2 7 0x + = 
 l) ( )2 2 1 4 2 0x i x i+ + + + = m) ( )2 2 2 18 4 0x i x i- - + + = 
 o) 2 4 4 0ix x i+ + - = p) ( )2 2 3 0x i x+ - = 
Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: 
 a) 2 3 1 3i và i+ - + b) 2 4 4i và i- + 
Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm: 
 a) 3 4i= +a b) 7 3ia = - c) 2 5i= -a 
 d) 2 3ia = - - e) 3 2ia = - f) i= -a 
 g) (2 )(3 )i i= + -a h) 51 80 45 382 3 4i i i i= + + +a i) 
5
2
i
i
+
=
-
a 
Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện 
đã chỉ ra: 
 a) 2 2 21 2 1 21 0, : 1z mz m đk z z z z- + + = + = + b) 
2 3 3
1 23 5 0, : 18z mz i đk z z- + = + = 
 c) 2 2 21 23 0, : 8x mx i đk z z+ + = + = 
Bài 6. Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình ( ) ( )21 2 3 2 1 0i z i z i+ - + + - = . Tính giá 
trị của các biểu thức sau: 
 a) 2 21 2A z z= + b) 
2 2
1 2 1 2B z z z z= + c) 
1 2
2 1
z z
C
z z
= + 
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21 b) 
ỵ
í
ì
+-=+
--=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21 c) 
3 5
1 2
2 4
1 2
0
.( ) 1
z z
z z
ì + =ï
í
=ïỵ
 d) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z
ì + + =
ï
+ + =í
ï =ỵ
 e) 
12 5
8 3
4 1
8
z
z i
z
z
ì -
=ï -ï
í
-ï =
ï -ỵ
 f) 
1 1
3 1
z
z i
z i
z i
ì -
=ï -ï
í
-ï =
ï +ỵ
Số phức Trần Sĩ Tùng 
Trang 106 
 g) 
2 2
1 2
1 2
5 2
4
z z i
z z i
ìï + = +
í
+ = -ïỵ
 h) 
2
1
z i z
z i z
ì - =ï
í - = -ïỵ
 i) 
2 2
1 2 1 2
1 2
4 0
2
z z z z
z z i
ìï + + =
í
+ =ïỵ
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 2 1 2
3
x y i
x y i
ì + = -
í + = -ỵ
 b) 2 2
5
8 8
x y i
x y i
ì + = -
í
+ = -ỵ
 c) 4
7 4
x y
xy i
ì + =
í = +ỵ
 d) 
2 2
1 1 1 1
2 2
1 2
i
x y
x y i
ì
+ = -ï
í
ï + = -ỵ
 e) 
2 2 6
1 1 2
5
x y
x y
ì + = -ï
í + =ïỵ
 f) 
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
ì + = +
ï
í + = +ïỵ
 g) 2 2
5
1 2
x y i
x y i
ì + = -
í
+ = +ỵ
 h) 3 3
1
2 3
x y
x y i
ì + =
í
+ = - -ỵ
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm 
 Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm 
hệ thức giữa x và y. 
Bài 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn 
mỗi điều kiện sau: 
 a) 3 4z z+ + = b) 1 2z z i- + - = c) 2 2z z i z i- + = - 
 d) 2 . 1 2 3- = +i z z e) 2 2 2 1i z z- = - f) 3 1z + = 
 g) 2 3z i z i+ = - - h) 3 1z i
z i
-
=
+
 i) 1 2z i- + = 
 k) 2 z i z+ = - l) 1 1z + < m) 1 2z i< - < 
Bài 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn 
mỗi điều kiện sau: 
 a) 2z i+ là số thực b) 2z i- + là số thuần ảo c) . 9z z = 
VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức 
 Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác. 
Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
 a) i.322 +- b) 4 – 4i c) 1 3.i- 
 d) 
4
sin.
4
cos pp i- e) 
8
cos.
8
sin pp i-- f) )1)(3.1( ii +- 
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau: 
 a) ( )( )3 cos20 sin 20 cos25 sin 25o o o oi i+ + b) 5 cos .sin .3 cos .sin
6 6 4 4
i i
ỉ ư ỉ ưp p p p
+ +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 c) ( )( )3 cos120 sin120 cos 45 sin 45+ +o o o oi i d) 5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
ỉ ư ỉ ư+ +ç ÷ç ÷
è øè ø
p p p pi i 
Trần Sĩ Tùng Số phức 
Trang 107 
 e) ( )( )2 cos18 sin18 cos 72 sin 72+ +o o o oi i f) cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i
+
+
o o
o o 
 g) 
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+ h) 2(cos 45 sin 45 )
3(cos15 sin15 )
i
i
+
+
o o
o o
 i) 
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2sin.
3
2(cos2
pp
pp
i
i
+
+
 k) 
2 22 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
ỉ ư+ç ÷
è ø
ỉ ư+ç ÷
è ø
p p
p p
i
i
Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
 a) 31 i- b) 1 i+ c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii - 
 e) 
i
i
+
-
1
31 f) 
i22
1
+
 g) jj cos.sin i+ h) 2 2i+ 
 i) 1 3i+ k) 3 i- l) 3 0i+ m) 5tan
8
i
p
+ 
Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau: 
 a) cos 45 sin 45o oi+ b) 2 cos sin
6 6
ỉ ư+ç ÷
è ø
p pi c) ( )3 cos120 sin120o oi+ 
 d) 6(2 )i+ e) 3
(1 )(1 2 )
i
i i
+
+ -
 f) 1
i
 g) 1
2 1
i
i
+
+
 h) ( )601 3i- + i) 
40
7 1 3(2 2 ) .
1
i
i
i
ỉ ư+
- ç ÷
-è ø
 k) 1 3 3cos sin
4 42
i
ỉ ư
+ç ÷
è ø
p p l) 
100
1 cos sin
1 4 4
i
i
i
ỉ ư ỉ ư+
+ç ÷ç ÷
- è øè ø
p p m) 
( )17
1
3 i-
Bài 5. Tính: 
 a) ( )
5
cos12 sin12o oi+ b) ( )161 i+ c) 6)3( i- 
 d) ( )
7
0 02 cos30 sin30ié ù+ë û e) 5(cos15 sin15 )o oi+ f) 2008 2008(1 ) (1 )i i+ + - 
 g) 
21
321
335
÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
-
+
i
i h) 
12
2
3
2
1
÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
+ i i) 
20081
÷
ø
ư
ç
è
ỉ +
i
i 
 k) 5 7(cos sin ) .(1 3 )
3 3
i i ip p- + l) 2008
2008
1 1, 1z biết z
zz
+ + = 
Bài 6. Chứng minh: 
 a) 5 3sin 5 16sin 20sin 5sint t t t= - + b) 5 3cos5 16 cos 20 cos 5cost t t t= - + 
 c) 2 3sin3 3cos sint t t= - d) 3cos3 4 cos 3cost t t= - 
Số phức Trần Sĩ Tùng 
Trang 108 
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 
 a) (2 )( 3 2 )(5 4 )i i i- - + - b) 
6 6
1 3 1 7
2 2
i iỉ ư ỉ ư- + -
+ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 c) 
16 8
1 1
1 1
i i
i i
ỉ ư ỉ ư+ -
+ç ÷ ç ÷
- +è ø è ø
 d) 3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
+ -
+
+ -
 e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )i i i i- + + + - - f) 2 3 20091 ...i i i i+ + + + + 
 g) 2000 1999 201 82 47i i i i i+ + + + h) 21 ... , ( 1)ni i i n+ + + + ³ 
 i) 2 3 2000. . ...i i i i k) 5 7 13 100 94( ) ( ) ( )i i i i i- - -- + - + + - 
Bài 2. Cho các số phức 1 2 31 2 , 2 3 , 1z i z i z i= + = - + = - . Tính: 
 a) 1 2 3z z z+ + b) 1 2 2 3 3 1z z z z z z+ + c) 1 2 3z z z 
 d) 2 2 21 2 3z z z+ + e) 
1 2 3
2 3 1
z z z
z z z
+ + f) 
2 2
1 2
2 2
2 3
z z
z z
+
+
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) 4 3 2(1 2 ) 3 1 3 , 2 3A z iz i z z i với z i= + - + + + + = + 
 b) 2 3 2 1( 2 )(2 ), ( 3 )
2
B z z z z z với z i= - + - + = - 
Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho: 
 a) (1 2 ) (1 2 ) 1i x y i i- + + = + b) 3 3
3 3
x y
i
i i
- -
+ =
+ -
 c) 2 2 2 21(4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 )
2
i x i xy y x xy y i- + + = - + - 
Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 
 a) 8 6i+ b) 3 4i+ c) 1 i+ d) 7 24i- 
 e) 
2
1
1
i
i
ỉ ư+
ç ÷-è ø
 f) 
2
1 3
3
i
i
ỉ ư-
ç ÷ç ÷-è ø
 g) 1 2
2 2
i- h) i, –i 
 i) 3
1 3
i
i
-
+
 k) 1 1
2 2
i+ l) ( )2 1 3i- + m) 1 1
1 1i i
+
+ -
Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: 
 a) i- b) –27 c) 2 2i+ d) 18 6i+ 
Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: 
 a) 2 12i- b) 3 i+ c) 2i- d) 7 24i- + 
Bài 8. Giải các phương trình sau: 
 a) 3 125 0z - = b) 4 16 0z + = c) 3 64 0z i+ = d) 3 27 0z i- = 
 e) 7 4 32 2 0z iz iz- - - = f) 6 3 1 0z iz i+ + - = g) 10 5( 2 ) 2 0z i z i+ - + - = 
Bài 9. Gọi 1 2;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4z i= + và 1 2;v v là hai căn bậc hai của 
2 3 4z i= - . Tính 1 2u u+ 1 2v v+ + ? 
II. ÔN TẬP SỐ PHỨC 
Trần Sĩ Tùng Số phức 
Trang 109 
Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
 a) 2 5 0z + = b) 2 2 2 0z z+ + = c) 2 4 10 0z z+ + = 
 d) 2 5 9 0z z- + = e) 22 3 1 0z z- + - = f) 23 2 3 0z z- + = 
 g) ( )( ) 0z z z z+ - = h) 2 2 0z z+ + = i) 2 2z z= + 
 k) 2 3 2 3z z i+ = + l) ( ) ( )22 +2 2 3 0z i z i+ + - = m) 3z z= 
 n) 
224 8 8z z+ = o) 2 (1 2 ) 1 0iz i z+ + + = p) 2(1 ) 2 11 0i z i+ + + = 
Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
 a) 
2
4 45 6 0z i z i
z i z i
ỉ ư+ +
- + =ç ÷- -è ø
 b) ( )( )( )25 3 3 0z i z z z+ - + + = 
 c) ( ) ( )2 2 2 6 2 16 0z z z z+ - + - = d) ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i- + + + - = 
 e) ( )( )2 2 2 0z i z z+ - + = f) 2 2 2 1 0z iz i- + - = 
 g) ( ) ( )2 5 14 2 12 5 0z i z i- - - + = h) 2 80 4099 100 0z z i- + - = 
 i) ( ) ( )23 6 3 13 0z i z i+ - - + - + = k) ( )2 cos sin cos sin 0z i z i- j + j + j j = 
Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
 a) ( )2 3 4 5 1 0x i x i- + + - = b) ( )2 1 2 0x i x i+ + - - = c) 23 2 0x x+ + = 
 d) 2 1 0x x+ + = e) 3 1 0x - = 
Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 
 a) 3 2 2 2 0z iz iz- - - = b) ( ) ( )3 23 4 4 4 4 0z i z i z i+ - + - - + = 
Bài 14. Tìm m để phương trình sau: ( )( )2 22 2 0z i z mz m m+ - + - = 
 a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực 
 c) Có ba nghiệm phức 
Bài 15. Tìm m để phương trình sau: 3 2(3 ) 3 ( ) 0z i z z m i+ + - - + = có ít nhất một nghiệm thực 
Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho ( 2)( )z z i- + là số thực. 
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương: 
 a) ( )4 28 1 63 16 0z i z i- - + - = b) ( )4 224 1 308 144 0z i z i- - + - = 
 c) 4 26(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + = 
Bài 18. Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình: ( )2 1 2 2 3 0z i z i- + + - = . Tính giá trị 
của các biểu thức sau: 
 a) 2 21 2z z+ b) 
2 2
1 2 1 2z z z z+ c) 
3 3
1 2z z+ 
 d) 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
z z
z z z z
ỉ ư ỉ ư
+ + +ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 e) 3 32 1 1 2z z z z+ f) 
1 2
2 1
z z
z z
+ 
Bài 19. Cho 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình: 
2 1 0x x- + = . Tính giá trị của các biểu 
thức sau: 
 a) 2000 20001 2x x+ b) 
1999 1999
1 2x x+ c) 1 2 ,
n nx x n N+ Ỵ 
Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ 
thức sau: 
Số phức Trần Sĩ Tùng 
Trang 110 
 a) 3z
z i
=
-
 b) 2 2 1z z+ = c) 1z
z
= 
Bài 21. Hãy tính tổng 2 3 11 ... nS z z z z -= + + + + biết rằng 
2 2cos sinz i
n n
p p
= + . 
Bài 22. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
 a) 4 3 2 1i i i i+ + + + b) (1 )(2 )i i- + c) 
2
1
i
i
+
-
 d) 1 sin cos , 0
2
i- + < <
p
a a a e) 3 cos sin
6 6
i
ỉ ư
- +ç ÷
è ø
p p f) cot ,
2
i+ < <
p
a p a 
 g) sin (1 cos ), 0
2
i+ - < <
p
a a a 
Bài 23. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 
 a) 
( )
( )
8 6
6 8
2 3 2 (1 )
(1 ) 2 3 2
i i
i i
+ +
+
- -
 b) 
( ) ( )
4
10 4
( 1 ) 1
3 2 3 2
i
i i
- +
+
- +
 c) ( ) ( )1 3 1 3n ni i+ + - 
 d) sin cos
8 8
i- +
p p e) cos sin
4 4
i-
p p f) 2 2 3i- + 
 g) 1 sin cos , 0
2
i- + < <
p
a a a h) 1 cos sin , 0
1 cos sin 2
i
i
+ +
< <
+ -
a a p
a
a a
 i) 4 3i- 
Bài 24. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 
 a) 
( )
( )
8 6
6 8
2 3 2 (1 )
(1 ) 2 3 2
i i
i i
+ +
+
- -
 b) 
( ) ( )
4
10 4
( 1 ) 1
3 2 3 2
i
i i
- +
+
- +
 c) ( ) ( )1 3 1 3n ni i+ + - 
Bài 25. Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực: 
 a) ( ) ( )7 72 5 2 5i i+ + - b) 19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
ỉ ư ỉ ư+ +
+ç ÷ ç ÷
- +è ø è ø
 c) 
6 6
1 3 1 3
2 2
i iỉ ư ỉ ư- + - -
+ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 d) 
5 5
1 3 1 3
2 2
i iỉ ư ỉ ư- + - -
+ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 e) 
6 6
3 3
2 2
i iỉ ư ỉ ư+ -
+ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 26. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 32 3
2
z i- + = . Tìm số phức z có môđun 
nhỏ nhất. 
Bài 27. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 
 4 2 6; (1 )(1 2 ); 
1 3
i ii i
i i
+- +
- -
 a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 
 b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. 
Bài 28. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 
 a) 3 2(2 2 ) (5 4 ) 10 0z i z i z i+ - + - - = b) 3 2(1 ) ( 1) 0z i z i z i+ + + - - = 
 c) 3 2(4 5 ) (8 20 ) 40 0z i z i z i+ - + - - = 
Bài 29. Cho đa thức 3 2( ) (3 6) (10 18 ) 30P z z i z i z i= + - + - + . 
Trần Sĩ Tùng Số phức 
Trang 111 
 a) Tính ( 3 )P i- b) Giải phương trình ( ) 0P z = . 
Bài 30. Giải phương trình 
2
12
7
z
z
z
ỉ ư+
= -ç ÷-è ø
, biết 3 4z i= + là một nghiệm của phương trình. 
Bài 31. Giải các phương trình sau: 
 a) 4 3 22 2 1 0z z z z+ - + + = b) 4 3 22 2 1 0z z z z- - - + = 
 c) ( ) ( ) ( )4 3 21 2 2 2 1 2 1 0z z z z- + + + - + + = d) 4 3 24 6 4 15 0z z z z- + - - = 
 e) 6 5 4 3 213 14 13 1 0z z z z z z+ - - - + + = 
Bài 32. Giải các phương trình sau: 
 a) 2 2 2 2( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + - = b) 
3
8z i
z i
ỉ ư+
=ç ÷-è ø
 c) 2 4 2 2 2 4( 1) 6 ( 1) 5 0z z z z z z- + - - + + = d) 
3 2
1 0z i z i z i
z i z i z i
ỉ ư ỉ ư ỉ ư- - -
+ + + =ç ÷ ç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø è ø
Bài 33. Chứng minh rằng: nếu 1z £ thì 2 1
2
z i
iz
-
£
+
. 
Bài 34. Cho các số phức 1 2 3, ,z z z . Chứng minh: 
 a) 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z z z z+ + + + + = + + + + + 
 b) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + - = + + 
 c) ( )( )2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z- - - = - - 
 d) Nếu 1 1z z c= = thì 
2 2 2
1 2 1 2 4z z z z c+ + - = . 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
transitung_tv@yahoo.com