Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
QUA VIỆC PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM ”
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT
 I.Định nghĩa và cách giải
Phương trình gọi là phương trình bậc hai (PTBH).
Đa thức f(x)= được gọi là tam thức bậc hai ( TTBH).
Nghiệm của PTBH (nếu có) cũng là nghiệm của TTBH.
Dạng chính tắc của tam thức bậc hai:
 (1)
Từ dạng (1) ta đưa ra cách giải và công thức nghiệm như SGK đã trình bày.
II. Sự phân tích TTBH.
Nếu >0 thì f(x)= với là các nghiệm.
III. Định lý Vi-ét
Nếu >0 thì f(x)= có hai nghiệm phân biệt và:
 Ngược lại: Nếu x+y=S và xy=P thì x,y là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: 
 IV. Đồ thị của hàm số bậc hai. 
V. Giá trị lớn nhất, gía trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN)
Nếu 
Nếu 
GTLN (GTNN) đạt được
VI. Dấu tam thức bậc hai:
f(x)= .
Nếu thì af(x)>0,
Nếu thì af(x). Đẳng thức xảy ra khi 
Nếu thì af(x)<0, 
 af(x)>0, 
Đảo lại:
Nếu sao cho af()<0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt
Hệ quả trực tiếp:
 Cho 
 Nếu: thì 
Ví dụ 1: Tìm m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x.
 (1)
 Lời giải sai:
 có nghĩa với mọi x
Ta có kết quả 
 Nhận xét: Lời giải xét thiếu 1 trường hợp a=0
Lời giải đúng:
Biểu thức (1)có nghỉa 
 TH1: 
 TH2: 
Kết luận: 
Ví dụ 2:Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt:
 (2)
Lời giải sai:
PT (2) có 2 nghiệm phân biệt
Nhận xét: Lời giải xét thiếu điều kiện 
 có 2 nghiệm phân biệt
Lời giải đúng: 
 PT (2) có 2 nghiệm phân biệt
Kết luận: 
Ví dụ 3: Tìm m sao cho: (3)
Lời giải sai:
Nhận xét: Lời giải sai vì nhân 2 vế của (3) với khi chưa biết 
dấu của biểu thức này.
Lời giải đúng: 
Vế trái của (3) tồn tại 
Ta có vô nghiệm v ì
 Khi đó nên : (3)
Ví dụ 4 : Biết rằng (x,y) l à nghiệm của hệ:
Tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
Lời giải sai:
 Vậy 
F không có giá trị lớn nhất vì F là hàm bậc hai với hệ số là : a=1>0
Nhận xét: Lời giải không đặt điều kiện để tồn taị x, y. Do đó đã xét F với 
mọi m thuộc R.
Lời giải đúng: 
Ta c ó Theo định lý Viét đảo thì x,y là các nghiệm của PT (*) 
Ta thấy x, y tồn tại khi (*) có nghiệm 
Khi đó:
Bảng biến thiên của F với 
 m -2 2 3 
 13
 F
 -11
Từ đó ta có minF=-11
 MaxF=13
Ví dụ 5: Tìm m sao cho PT sau chỉ có một nghiệm thoả mãn x>3
 (5)
Lời giải sai:
Cách 1:
PT (5) có nghiệm duy nhất khi , suy ra PT có nghiệm: 
Khi đó yêu cầu bài toán
KL: Không có m thoả mãn bài toán.
Cách 2: Xét 2 TH.
TH1: 
Không có m thoả mãn TH này
TH2: 
KL: 
Nhận xét: +)Cách 1, học sinh hiểu sai nghĩa của cụm từ “ chỉ có 1 nghiệm” nên đã không làm đúng với yêu cầu bài toán. Nhớ rằng: PT chỉ có 1 nghiệm thoả mãn x>3 không có nghĩa là PT không được có 2 nghiệm!
 +)Cách 2, học sinh hiểu bài toán vì biết làm gọn 2 TH thành 1 TH . Tuy nhiên khi viêt điều kiện tương đương với yêu cầu này lại không đúng, do đó đã bỏ sót TH . Chính vì vậy mà với m=2 , PT trở thành
( thoả mãn bài toán), nhưng m=2 không đúng trong KL của cách giải thứ 2.
Lời giải đúng: Xét 3 TH
TH1: 
 Không có m thoả mãn TH này
TH2: 
TH3: 
KL: 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng PT sau có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 95
 (6)
Lời giải sai:|
Đặt f(x)=VT(6).
Khi đó: 
Do đó: af(95)=3(95-96)(95-97)>0
Và: 
Suy ra: 
Từ chưa kết luận được f(x) có 2 nghiệm phân biệt.
Lời giải thiếu công việc chứng minh quan trọng này.
Lời giải đúng:
Ta có:af(96)=3(96-95)(96-97)<0 nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn 
Mặt khác: af(95)=3(95-96)(95-97)>0 nên 
Mà 95<96 nên : .
Ví dụ 7: Tìm m sao cho PT sau không có nghiệm nằm ngoài (-1;1)
 (7)
Lời giải sai:
PT (7) không có nghiệm nằm ngoài (-1;1) 
Nhận xét: +)Có thể thấy với m=0 thì PT trở thành -2x+1=0
 nên m=0 thoả mãn
 +)Lời giải thiếu TH PT vô nghiệm!
Như vậy: lời giải đúng phải bổ sung thêm TH a=0 (thử trực tiếp) và TH
 Đáp số đúng là: m<-3/4 hoặc m=0
Ví dụ 8: Hãy biện luận số nghiệm của PT theo m:
 m(x-1)(x+96)+x=0 (*)
Lời giải:
Đặt VT(*)=f(x) thì f(x) là tam thứ bậc hai có: f(1)=1; f(-96)= -96
Suy ra: f(-96).f(1)<0 với mọi m
Suy ra f(x) luôn có 1 nghiệm thuộc (-96;1) và 1 nghiệm ngoài [-96;1] , tức là với mọi m thì PT có 2 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: Sai lầm ở chỗ: Tưởng f(x) luôn là tam thức bậc hai.
 Với m=0 thì f(x)=x chỉ có 1 nghiệm x=0.(Với thì mới lý luận được như trên)
Đáp số đúng là: Với m=0 (*) có 1 nghiệm
 Với (*) có 2 nghiệm.