Các dạng toán cơ bản của Số phức

§1. SỐ PHỨC
I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
II.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Dạng đại số và biểu diễn hình học của số phức
Bài 1. Biểu diễn hình học các số phức sau đấy lên mặt phẳng tọa độ
 , -3i , -4 
Giải.
Các điểm A,B,C,D lần lượt biểu diễn các số phức đã cho
Bài 2. Cho hình vuông ABCD như hình vẽ trên mặt phẳng tọa độ. Các đỉnh A,B,C,D của hình vuông biểu diễn các số phức nào ?
Giải
Ta có:
Điểm A biểu diễn số phức , Điểm B biểu diễn số phức 
Điểm C biểu diễn số phức , Điểm D biểu diễn số phức 
Bài 3. Cho các điểm A,B,C,D lần lượt biểu diễn các số phức 
a) Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D tạo thành hình bình hành.
b) Tâm của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào ?
Giải.
a)Từ giả thiết ta có 
Do đó 
Ta có không cùng phương với nên A,B,C không thẳng hang. Mặt khác vì nên A,B,C,D là bốn đỉnh của hình bình hành.
b) Gọi I là tâm của hình bình hành ABCD. Khi đó I(1;1). 
Vậy I biểu diễn số phức 1+i.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn tâm O , bán kính bằng 1. Xét lục giác đều nội tiếp trong đường tròn như hình vẽ. Tìm các số phức được biểu diễn bởi các đỉnh 
Giải.
Dễ dàng thấy rằng 
Từ đó suy ra các đỉnh biểu diễn các số phức tương ứng :
Bài 5. Cho các vectơ biểu diễn các số phức 
a) Các vectơ biểu diễn những số phức nào ?
b) Số phức được biểu diễn bởi vectơ nào ? Hãy biểu diễn vectơ đó theo các vectơ 
Giải.
a) Từ giả thiết ta có 
 Ta có và 
Từ đó vectơ biểu diễn số phức và vectơ biểu diễn số phức .
b) Số phức được biểu diễn bởi vectơ 
Giả sử 
Vậy số phức được biểu diễn bởi vectơ .
Bài 6. Tìm môđun và số phức liên hợp với mỗi số phức sau đây:
Giải.
Số phức có môđun là và số phức liên hợp là 
Số phức có môđun là và số phức liên hợp là 
Số phức có môđun là và số phức liên hợp là .
Bài 7. Cho và là các điểm theo thứ tự biểu diễn các số phức .
Chứng minh rằng 
Giải.
Giả sử . Khi đó và 
Từ đó 
Do đó 
Mặt khác 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Dạng 2. Các phép toán về số phức
Bài 8. Thực hiện các phép toán sau đây
a) ; b) ;
c) ; c) .
Giải.
Ta có 
a) 
b) ;
c) ;
d) 
Bài 9. Thực hiện các phép tính sau đây
a) ; b) ;
c) ; d) 
Giải.
a) Ta có 
b) 
c) Ta có 
d) Ta có 
Bài 10. Thực hiện các phép tính
a) ; b) ; c) ; d) 
e) ; g) ; h) ; i) .
Giải.
a) 
b) ;
c) ;
d) 
e) 
Bài 11. Tìm số phức thỏa mãn
a) ; b) ;
c) ; d) .
Giải.
a) Ta có 
b) Ta có 
Từ đó 
Vậy 
c) Ta có 
d) Ta có .
Bài 12. Cho hai số phức .Chứng minh rằng 
 hoặc 
Giải.
Giả sử với 
Khi đó 
Vậy 
Nếu thì hoặc 
·Xét trường hợp . Khi đó 
Thay vào đẳng thức thứ hai có 
Từ đó và như thế 
· Xét trường hợp . Khi đó 
Từ đó 
Như thế . Từ đó và .
Bài 13 Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng
 với là số thực.
Giải.
Giả sử với và 
Vì nên ta phải có . 
Chọn . Khi đó 
Ta có 
Hay 
Chú ý rằng ta phải có và . Khi đó các số phải thỏa mãn 
Đẳng thức trên được thỏa mãn từ giả thiết 
Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 14. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức thỏa mãn
a) ; b) 
Giải.
Ta sử dụng kết quả của bài tóan trên
a) Xét điểm biểu diễn số phức -2.
Từ đó 
Vậy tập hợp M là đường tròn tâm A , bán kính 1.
b) Xét hai điểm C(0;-1) biểu diễn số phức và điểm D(2;3) biểu diễn số phức 2+3i.
Ta có và 
Từ đó 
Như thế tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Bài 15. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức sao cho
a) là số thực; b) là số thuần ảo;
c) ; d) là số thực. 
Giải.
Giả sử số phức có dạng 
a) Ta có 
Như thế là số thực khi và chỉ khi 
Từ đó suy ra tập hợp những điểm M biểu diễn số phức là đường thẳng .
b) Ta có là số thuần ảo khi .
Như thế tập hợp những điểm M là đường thẳng ;
c) Ta có 
Vậy 
Do đó tập hợp những điểm M là đường tròn đơn vị có tâm tại gốc tọa độ.
d) Ta có 
Xét điểm A(0;3) biểu diễn số phức và điểm B(0;-1) biểu diễn số phức .
Khi đó M nằm trên đường trung trực đonạ AB.
Vậy tập hợp những điểm M là đường thẳng .
Bài 16. Tìm tập hợp những điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn
a) ; b) .
Giải.
a) Xéi điểm A(1;-1) biểu diễn số phức 
Khi đó 
Như thế tập hợp các điểm M là miền trong của đường tròn ( kể cả biên ) tâm A , bán kính 2 .
b) Gọi . Khi đó E và F biểu diễn cho các số phức tương ứng là và -1.
Ta có 
Từ đó 
Vậy tập hợp M là đường elip nhận E,F làm hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn là 4.
III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.1.Cho số phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M. Trong các 
 khẳng định sau, khẳng định nào đúng , khẳng định nào sai ?
 a) Nếu a = 0 thì M nằm trên trục hoành ;
 b) Nếu thì điểm M nằm trên đường thẳng ;
 c) Nếu thì điểm M nằm trên đường tròn tâm O , bán kính bằng 1;
 d) Nếu thì điểm M nằm trên đường thẳng .
4.2. Biểu diễn hình học các số phức sau đây lên mặt phẳng tọa độ
4.3. Cho các điểm A,B,C lần lượt biểu diễn các số phức .
 a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
 b) Điểm D trên đường thẳng sao cho ABCD là hình thang. Điểm D biểu diễn 
 số phức nào ?
4.4. Cho các điểm A,B,C,D lần lượt biểu diễn các số phức 
 a) Chứng minh tứ giác ABCD có các đường chéo vuông góc.
 b) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Gọi M là trung điểm 
 đoạn GG’. Khi đó điểm M biểu diễn cho số phức nào ?
4.5. Cho các số phức 
 a) Biểu diễn các số phức lên mặt phẳng.
 b) Biểu diễn số phức theo các số phức .
 c) Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức 
 khi m thay đổi.
4.6. Cho các vectơ biểu diễn các số phức 
 a) Các vectơ biểu diễn những số phức nào ?
 b) Số phức được biểu diễn bởi vectơ nào ?
4.7. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức trong mỗi trường hợp sau 
 đây :
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.8. Cho các số phức 
 a) Biểu diễn các số phức trên trong mặt phẳng phức.
 b) Viết các số phức liên hợp với mỗi số đó;
 c) Tính môđun của mỗi số phức đã cho;
4.9. Thực hiện các phép rính sau đây :
 a) ; b) ;
 c) ; c) .
4.10. Thực hiện các phép tính sau đây
 a) ; b) ;
 c) ; d) 
4.11. Thực hiện các phép tính sau đây
 a) ; b) ; c) ; d) 
 e) ; g) ; h) ; i) .
4.13. Tính :
 a) ; b) c) ; d) .
 e) ; g) ; d) ; h) .
4.12.Tìm số phức thỏa mãn
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.13. Tìm số phức thỏa mãn
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.14. Cho số phức . Biết rằng với mọi số phức ta luôn có .
 Tìm b.
4.15. Tìm các số thực thỏa mãn
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.16.Tìm môđun và số phức liên hợp với mỗi số phức sau đây:
4.17. Tìm tập hợp những điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức trong mỗi 
 trường hợp sau đây :
 a) ; b) ; 
 c) d) ;
4.18. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn 
 mỗi điều kiện sau đây :
 a) ; b) ; c) ;
 d) e) 
4.19. Tìm tập hợp những điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức thỏa mãn
 a) ; b) .
4.20. Cho là hai điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho các số phức tương ứng 
 . Gọi M là điểm thay đổi biểu diễn cho số phức với 
 . Tìm tập hợp các điểm I biểu diễn số phức .
§2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT
II.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Tính căn bậc hai của số phức
Bài 1. Tính căn bậc hai của các số phức sau đây:
Giải.
a) Gọi là căn bậc hai của số phức . Khi đó 
Ta có hệ 
Hệ có nghiệm (1;1) và (-1;-1)
Như thế có hai căn bậc hai của số phức là và .
b) Tương tự như trên ta có hệ 
Hệ có hai nghiệm 
Vậy số phức có hai căn bậc hai là và .
c) Số -3 có hai căn bậc hai là và .
d) Gọi là căn bậc hai của số phức . Khi đó ta có hệ
Từ đó ta thấy hệ có hai nghiệm là 
Vậy số phức có hai căn bậc hai là và .
e) Gọi là căn bậc hai của số phức . Ta có hệ
Như thế 
Vậy số phức có hai căn bậc hai là và .
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai
Bài 2. Giải các phương trình sau đây
a) ; b) ; c) 
d) ; e) ; d) .
Giải.
a)Ta có 
Phương trình có hai nghiệm là và 
b) Xét phương trình 
Ta có 
Phương trình có hai nghiệm là và 
c) Xét phương trình 
Ta có 
Từ đó phương trình có hai nghiệm 
d) Xét phương trình 
Ta có 
Phương trình có hai nghiệm và 
e) Xét phương trình 
Ta có 
Phương trình có hai nghiệm 
g) Xét phương trình 
Từ đó phương trình có hai nghiệm là và .
Bài 3. Giải các phương trình sau đây
a) ; b) ;
c) ; d) .
Giải.
a) Ta có 
Vậy phương trình có ba nghiệm : 
b) Ta có 
Phương trình có hai nghiệm 
Phương trình có hai nghiệm 
Như thế phương trình đã cho có 4 nghiệm :
c) Xét phương trình 
Đặt , ta có phương trình hoặc 
Với ta có 
Với ta có 
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm phức 
d) Ta có 
Với thì 
Với thì 
Vậy phương trình có ba nghiệm phức 
Bài 4. Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lượt là 
a) và b) và 
Giải.
a)Hai số phức là nghiệm của phương trình 
Ta có 
Vậy phương trình có hai nghiệm là và 
Vậy hai số phức cần tìm là và .
b) Hai số phức là nghiệm của phương trình 
Ta có 
Dễ thấy một căn bậc hai của là 
Từ đó phương trình có hai nghiệm là 
 và 
Vậy hai số phức cần tìm là và ..
Bài 5. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm 
a) ; b) ; c) 
Giải.
a) Ta có 
Hay 
Như thế a là nghiệm của phương trình bậc hai 
b) Ta có 
Vậy là nghiệm của phương trình .
c) Ta có 
Vậy là nghiệm của phương trình 
Bài. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra 
a) ; b) .
Giải.
a)Theo công thức Vi-et ta có 
Từ đó 
Từ đó ta có 
b) Theo công thức Vi-et ta có 
Ta có 
Bài 6. Cho số phức thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức 
Giải.
Ta có 
Vì là số phức nên .
Từ đó 
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
4.21. Tính căn bậc hai của các số phức sau đây
 a) b) ; c) -3 + 2i ;
 d) ; e) g) 
4.22. Tính căn bậc hai của mỗi số phức sau đây
4.23. Chứng minh rằng
 a) Nếu là căn bậc hai của số phức thì là căn bậc hai của số phức 
 ;
 b) Nếu là căn bậc hai của số phức thì là căn bậc hai của số 
 phức 
4.24. Cho a là số thực thay đổi. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn 
 căn bậc hai của các số phức 
4.25. Giải các phương trình sau đây
 a) ; b) ; c) 
 d) ; e) ; d) .
4.26. Giải các phương trình sau đây
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.27. Giải các phương trình sau đây
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.28. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm trong mỗi trường hợp sau đây 
 a) ; b) ; c) 
4.29. Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì số phức liên 
 hợp cũng là nghiệm của phương trình đó.
4.30. Cho phương trình 
 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình
 a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức;
 b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực;
 c) Có ba nghiệm phức;
4.31. Tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình 
 a) Có đúng 1 nghiệm thực;
 b) Có đúng 2 nghiệm thực;
 c) Có đúng 2 nghiệm phức;
4.32. Giải các phương trình sau đây
 a) ; b) ;
 c) ; d) .
4.33. Giải các phương trình sau đây
 a) biết rằng nó có một nghiệm thuần ảo;
 b) biết rằng nó có một nghiệm thực và một nghiệm 
 thuần ảo .
4.34. Giải các hệ phương trình sau đây
 a) ; b) ;
 c) ; d) 
4.35. Giải các hệ phương trình hai ẩn :
 a) ; b) ;
 c) d)