Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học

∆ >  < 
− ≥ + + ≥ ∀
⇔ ⇔ ⇔ − < < ≥
− + ≥ ∀ 
 
− ≤ ≤
− ≤ ≤
e. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ dương 
 28 
Ycbt ( ) 2
1 1
21 1' 0
22
' 0 0 2 1 0 1
220
0 22
0
m
m m
y m m
m mS
m
− < <
 
 
−  ≤ −  ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ≤ <  
  > ≥ < 
 
>
f. Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ trái dấu nhau 
( ) 2' 0 0 2 22 1 0
2 2' 0 1
y
m m
m
 <
−
⇔ ⇔ − ⇒ <
g. Hàm số đạt CĐ và CT tại x1;x2 sao cho ( )3 31 2x x+ nhỏ nhất 
Ycbt ( ) ( )31 2 1 2 1 2
' 0
3 minP x x x x x x
∆ >
⇔ 
= + − + →
 (1) 
Với 
2
1 2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
 = −

+ =
 Vậy ta có (1) ( ) ( )
2
3 2
1 0
2 3 2 1 .2 min
m
P m m m

− + >
⇔ 
= − − →
3
1 1
4 6 min
m
P m m
− < <
⇔ 
= + →
2
2
2
' 12 6 ' 0
2
2
m
P m P
m

=
⇒ = − + ⇒ = ⇔

= −

Bảng biến thiên: 
X −∞ -1 
2
2
− 
2
2
 1 +∞ 
Y’ - 0 + 0 - 
Y 
-2 2 2 
 - 2 2 2 
min 2 2P = − khi 
2
2
m
−
= 
Lời bình: 
Có lẽ các bạn đang thắc mắc: “Tại sao lại có những lời giải ngắn gọn và dễ dàng như vậy?” Bí quyết nằm ở 
biểu thức y’ và dấu của nó. Lúc này, tất cả yêu cầu bài toán (ycbt) liên quan đến cực trị đều nằm ẩn dưới 
những dấu + - của y’. Và trực quan hơn nữa, ta thấy được hướng đi của mình qua bảng biến thiên. Tôi sẽ 
minh họa kĩ câu d của ví dụ trên đây: 
Ycbt : Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm có hoành độ nằm trong [-2;3] 
- Để có cực đại và cực tiểu  y’=0 có hai nghiệm ' 0⇒ ∆ > 
- Vẽ bảng biến thiên: 
 29 
X 
−∞ -2 X1 2
S
 X2 3 +∞ 
Y’ + 0 - 0 + 
Y 
 CĐ 
 CT 
Từ đó ta có 
( )
( )
' 2 0
' 3 0
y
y
 − ≥

≥
 . Vậy là điều kiện thứ 2 đã được biểu hiện rất rõ ràng trên bảng biến 
thiên. Đây thực ra là xét quan hệ về dấu của hệ số a: ( )af α nhưng ở đây khi ta đã biết rõ dấu 
của a thì chỉ cần đặt dấu đó vào trước ( )f α là được. Đây cũng có thể là bước rút gọn thời 
gian mà các em nên làm, tránh khai triển mất thời gian. 
- 
2
S
 là tổng hai nghiệm X1;X2 của phương trình y’=0 hay bằng 2
b
a
−
. Rõ ràng nếu X1;X2 nằm 
trong [-2;3] thì 
2
S
 cũng phải nằm trong đoạn này. Vì 
2
b
a
−
 là giá trị có thể rút ra dễ dàng từ 
phương trình gốc nên ta chọn giá trị trung bình này làm điều kiện. Nút thắt thứ 3 được gỡ 
bỏ. 
- Lời khuyên đó là: khi gặp những dạng toán như trên học sinh hãy vẽ bảng biến thiên như 
trên ra giấy nháp sau đó tùy theo câu hỏi mà điền các thông số thích hợp vào bảng. từ đó 
mọi hướng giải đều được phơi bày! 
Tôi có tham khảo qua một vài tài liệu của các thầy cô giáo thì thấy phần lớn các sách đều trình bày lời 
giải một cách máy móc, không trực quan, nhiều lúc có thể coi là luẩn quẩn. . Ví dụ: tìm m để hàm số 
y=f(x) tăng trên (1;+∞ ), các thầy cô trình bày trong sách cũng như trên lớp theo phương pháp Min-
Max, xét nhiều trường hợp Những cách giải đó không phải là sai tuy nhiên điều đó đôi khi làm khó các 
em học sinh trong quá trình tư duy tìm trường hợp, nhất là các em học sinh trung bình. Phương pháp 
xét dấu trình bày trên đây vừa ngắn gọn rõ ràng lại không bỏ sót trường hợp. bài toán được đơn giản 
hóa. 
 Cách giải trên cũng áp dụng được cho hàm số 
2
2
' ' '
ax bx cy
a x b x c
+ +
=
+ +
 vì dạng đạo hàm 
( )
2
22
2
' ' ' ' ' '
'
' '
a b a c b c
x x
a b a c b c
y
a x b x c
+ +
=
+ +
 . Trong trường hợp này, tùy biểu thức ở mẫu có nghiệm hay 
không ta đặt thêm trường hợp. Vì mẫu thức ≥0 nên khi xét dấu ta chỉ cần xét dấu tử số tương tự 
như các ví dụ trình bày ở trên. 
 Dạng hàm số này đã không còn thông dụng ( chỉ giới thiệu sơ lược trong sách giáo khoa) nên xu 
hướng ra đề chỉ xoay quanh 3 hàm là: bậc 3, trùng phương và 
' '
ax by
a x b
+
=
+
. 
Bài 2: Cho (Cm): ( )3 23 3 1 4y x mx m x= − + − + 
 Định m để: 
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB thẳng hàng với C(1;-1) 
b. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB = 2 5 
c. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB cách đều : 2y∆ = 
Giải: 
 30 
MXĐ: D=R 
Tọa độ 2 điểm cực trị thỏa hệ: 
' 0
( )
y
y f x
=

=
Vậy: 2' 2 1 0y x x m= − − + = 
( )3 23 3 1 4y x mx m x= − + − + ( ) ( )2
0
2 1y x x m cx d ax b ax b⇒ = − − + + + + = +

( )2 2 1 ( 1) 2 5y x x m x mx m⇔ = − − + − − − + 
( )
( )
2 2 1 0 1
2 5 2
x x m
y mx m
 + − + =
⇔ 
= − − +
C(m) có hai cực trị  (1) phải có 2 nghiệm phân biệt ' 0⇒ ∆ ≥ 0m⇒ > 
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB thẳng hàng với C(1;-1) 
(2) ⇒ phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là 2 5y mx m= − − + 
Vì AB thẳng hàng với C(1;-1) ⇒ C ∈ AB nên: -1=-2m.1-m+5 2m⇔ = 
Vậy với m=2 AB thẳng hàng với C(1;-1) 
b. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB = 2 5 
( ) 2 1 2 '1 2x x m
a
∆
⇒ − = = 
( ) ( )2 1 2 12 2 4y y m x x m m⇒ − = − − = − ( ) ( )2 22 1 2 1 2 5AB x x y y⇒ = − + − = 
2
1
16 4 20 5
4
m
m m
m
=
⇒ + = ⇔
 = −

 So sánh đk⇒ 1m = 
c. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho AB cách đều : 2y∆ = 
Ycbt ( ) ( ); ;d A d B⇔ ∆ = ∆ với : 2y∆ = 
( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 2
2 2
2 2 4
y y y y
y y
y y y y
− = − =
⇔ − = − ⇔ ⇔ 
− = − − + =
( ) ( ) ( )1 2 1 22 5 2 5 4 2 2 10 4mx m mx m m x x m⇔ − − + + − − + = ⇔ − + − + = 
2 .2 2 10 4 1m m m⇔ − − + = ⇔ = 
Bài 3: Cho (Cm): ( )3 23 3 1y x x m x= + − − 
 Định m để: 
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho OAB∆ vuông tại O 
b. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm khác phía với trục Ox 
c. C(m) có hai điểm cực trị A;B cùng phía với trục Oy 
d. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm cách đều đường thẳng y=5 
e. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1 
f. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = 
g. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân 
h. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích =8 
Giải: 
 31 
CT
CD
x
y
1x
1x
5y =
MXĐ: D=R 
Tọa độ 2 điểm cực trị thỏa hệ: 
' 0
( )
y
y f x
=

=
( ) ( ) ( )
2
3 2 2
' 2 1 0
3
3 3 1 2 1 1 2 1
y
x x m
y x x m x x x m x mx m

= + − + =
⇔ 
 = + − − = + − + + − + −
( )
( )
2 2 1 0 1
2 1
x x m
y mx m
 + − + =
⇔ 
= − + − ∆
C(m) có hai cực trị  (1) phải có 2 nghiệm phân biệt ' 0⇒ ∆ ≥ 0m⇒ > (*) 
a. C(m) có hai điểm cực trị A;B sao cho OAB∆ vuông tại O 
Ycbt OA OB⇔ ⊥

 

.OAOB⇔



 với 
( )
( )
;
;
A A
B B
OA x y
OB x y
 =

=



 
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 20 2 1 2 1 0x x y y x x mx m mx m⇔ + = ⇔ + − + − − + − = 
( ) ( ) ( )22 21 2 1 2 1 24 2 2 1 0x x m x x m m x x m⇔ + + − + + + − = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )22 21 4 1 2 2 . 2 1 0m m m m m m− + + − + + − + − + − = 
3 24 9 7 2 0m m m⇔ − + − + = ( )( )2
 vì 7
4 5 2 1 0
VN
m m m
∆=−
⇔ − + − − =

1 m⇔ = (thỏa điều kiện(*)) 
b. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm khác phía với trục Ox 
Ycbt 1 2. 0y y⇔ < ( )( )1 22 1 2 1 0mx m mx m⇔ − + − − + − < 
( )( ) ( )22 21 2 1 24 2 2 1 0m x x m m x x m⇔ + − + + + − < 
( ) ( ) ( )22 24 1 2 2 2 1 0m m m m m⇔ − + − − + + − < 
( )( )23 2
0
4 9 6 1 0 4 1 1 0m m m m m
≥
⇔ − + − + < ⇔ − + − <

1
4
1
m
m

>
⇔ 
 ≠
c. C(m) có hai điểm cực trị A;B cùng phía với trục Oy 
Ycbt 1 2 0x x⇔ > ( 1x cùng dấu với 2x ) 1 0 1m m⇔ − + > ⇔ < 
d. C(m) có hai điểm cực trị A;B nằm cách đều đường thẳng y=5 
Ycbt :  y=5 cắt (Cm) tại trung điểm AB. M là trung điểm AB có tọa độ 1 2 ; 2 1
2
x x
mx m
+ 
− + − 
 
( )1;3 1M m⇒ − − 5 3 1 2Ycbt m m⇔ = − ⇔ = 
So sánh với điều kiện (*) ta thấy m=2 là kết quả cần tìm. 
e. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1 
: 2 1 : 2 1 0y mx m mx y m∆ = − + − ⇔ ∆ + − + = 
 32 
Ycbt ( ); 1d O⇔ ∆ =
( )2 2
2 .0 0 1
1
2 1
m m
m
+ − +
⇔ =
+
( ) ( )2 2 2 21 2 1 3 2 0m m m m⇔ − + = + ⇔ + = 
0
2
3
m
m
=
⇔
− =

 So sánh với điều kiện m>0 ta nhận thấy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
f. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tiếp xúc với đường tròn ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = 
Ycbt ( );d I R⇔ ∆ = với tâm I(1;1) và R=2 
: 2 1 0mx y m∆ + + − = 
( )2
2 .1 1 1
2
2 1
m m
m
+ − +
⇒ =
+
 ( )2 2 22 16 4 15 4 0m m m m⇔ + = + ⇔ − + = 
0
4
15
m
m
=
⇔
 =

 So sánh với (*) ta nhận 
4
15
m = 
g. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân 
Gọi M là giao điểm của ∆ và Ox:
2 1 0 1
;0
0 2
mx m mM
y m
− + − = − 
⇒ ⇒  
=  
Gọi N là giao điểm của ∆ và Oy: ( )2 .0 1 0; 1
0
y m m
N m
x
= − + −
⇒ ⇒ −
=
Ycbt 
1 11 1 . 1 0
2 2M N
m
x y m m
m m
 
−
⇔ = ⇔ = − ⇔ − − =  
 
1
1
2
1
2
m
m
m

 =

⇔ =


−
 =

Dễ thấy với m=1, ∆ đi qua gốc tọa độ, với m= 1
2
−
 không thỏa (*) nên loại. Vậy ta chọn 
1
2
m = 
h. Có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích =8 
Ycbt: 
1 1 1
.
2 8 2OMN M N
S OM ON x y∆⇔ = ⇔ = 
( )211 1 1
. 1
4 2 4 2
mm
m
m m
−
−
⇔ = − ⇔ = 
( )
2
2
2
2 1 12
2
2 1
2
m
m
m m
m
m
m m VN
 =
 
− + = ⇔
  =⇔  

−

− + =

 So sánh (*) vậy có hai giá trị m thỏa mãn: m=2 và m=0.5
 33 
III: SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ 
Nhắc lại kiến thức: 
Cho: ( ) ( )1 2: ; :C y f x C y g x= = 
Số giao điểm của C1 và C2 là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: 
( ) ( )f x g x= 
Đặc biệt khi C1 tiếp xúc C2: 
( ) ( )
( ) ( )' '
f x g x
f x g x
=

=
Lưu ý: Không được sử dụng điều kiện nghiệm kép để làm dạng toán tiếp xúc của hai đồ thị. 
Để hiểu rõ hơn, ta hãy đến với các ví dụ sau: 
Bài 1: Cho hàm số ( ) ( )2 3 2: 2
1m
mx mC y m
x
− −
= ≠ −
−
 và ( ) : 1d y x= − 
Định m để (d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt: 
a) Có hoành độ lớn hơn -1 
b) Có hoành độ nhỏ hơn 2 
c) Có hoành độ nằng trong khoảng [ ]2;3− 
d) Có hoành độ dương 
e) Có hoành độ trái dấu. 
Giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm giữa (Cm) và d: 
( ) ( )22 3 2 1 : 2 1 3 3 0
1
mx m
x g x x m x m
x
− −
= − ⇔ − + + + =
−
x 
−∞ 1x 2
S
 2x +∞ 
( )g x + 0 - 0 + 
Để để (d) cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt  g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt  
( )
2
' 0
1
1 0 2
m
m
g m
 >∆ > ⇔  < −
 ≠ ⇔ ≠ −
 (*) 
a) Có hoành độ lớn hơn -1 
Ycbt: 
( )1 0
1
2
g
S
− >

⇔ 
− <

( ) 61 2 1 3 3 0
5
1 1 2
m m m
m
m
−+ + + + > > 
⇔ 
+ > −  > −
 So sánh với (*) ta kết luận: 
6 1
5
2
m
m
−
< <

>
b) Có hoành độ nhỏ hơn 2 
( ) ( )2 0 4 4 1 3 3 0 3 0 3
1 11 22
2
g
m m m m
S
m mm
>
− + + + > − + < <  
⇔ ⇔ ⇔   
< <+ <<   

 34 
So sánh với (*) ta kết luận: 
2
2 1
m
m
< −

− < < −
c) Có hoành độ nằng trong khoảng [ ]2;3− 
Ycbt: 
( )
( )
( )
( )
11
2 0 4 4 1 3 3 0 7
3 0 9 6 1 3 3 0 2
3 22 1 32 3
2
mg m m
g m m m
mS m
  ≥ − − ≥ + + + + ≥ 
  
≥ ⇔ − + + + ≥ ⇔ ≤  
  
− ≤ ≤
− ≤ + ≤ 
− ≤ ≤

So sánh điều kiện (*) ta suy ra: 
11 1
7
m
− ≤ ≤ − 
d) Có hoành độ dương 
Ycbt:
( ) 0 3 3 0 1
1 0 10
2
g o
m m
S
m m
>
+ > ⇔ > −
⇔ ⇔ 
+ ≥ ⇔ ≥ −≤ 

So sánh với (*) ta suy ra: m>2 
e) Có hoành độ trái dấu. 
Ycbt: ( )0 0 3 3 0 1g m m< ⇔ + < ⇔ < − 
So sánh điều kiện (*) ( ) ( ); 2 2; 1m⇒ ∈ −∞ − ∨ − − 
Bài 2: Cho hàm số ( ) 1:
1
xC y
x
+
=
−
và ( ) : 1d y mx= + 
Tìm m để d cắt (C): 
a) Tại 2 điểm phân biệt nằm trên 2 nhánh của đồ thị. 
b) Tại 2 điểm phân biệt nằm trên cùng 1 nhánh của đồ thị 
Giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 
( )1 1 1
1
x
mx x
x
+
= + ≠
−
 ( ) ( )2 2 0 1g x mx mx⇔ = − − = 
a) Tại 2 điểm phân biệt nằm trên 2 nhánh của đồ thị. (Hình 1) 
Ycbt: phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 21x x< < 
x 
−∞ 1x 1
tiem can dung
 2x +∞ 
( )g x Cùng dấu m 0 Trái dấu m 0 Cùng dấu m 
( ) ( ). 1 0 2 0 2 0 0m g m m m m m⇔ 
 35 
ình1H
ình 2H
ình 3H
Lưu ý: Trường hợp này không cần phải xét biệt thức ∆ vì khi d cắt 
C về 2 phía của tiệm cần đứng x=1 thì mặc nhiên phương trình đã 
có 2 nghiệm, không cần thiết phải xét ∆ 
b) Tại 2 điểm phân biệt nằm trên cùng 1 nhánh của đồ thị 
(Hình 2) 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa: 
1 2
1 2
1
1
x x
x x
< <
 < <
( )
20 8 0
. 1 0 2 0
m m
m g m
∆ >  + <
⇔ ⇔ 
>
− > 
0
0
8
m
m
m
<

⇔ >
 < −
8m⇔ < − 
 Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị : 
 ( ) 3: 3 2C y x x= − + tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho xA=2 và 
BC= 2 2 . 
Giải: (hình 3) 
2 4A Ax y= ⇒ = 
Phương trình đường thẳng qua A(2;4) là 
( ): ( ) : 2 4A Ay k x x y y k x∆ = − + ⇒ ∆ = − + 
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ∆ : 
( ) ( )3 33 2 2 4 3 2 2x x k x x x k x− + = − + ⇔ − − = − 
( )3 3 2 2 0x k x k⇔ − + + − = ( ) ( )22 2 1 0x x x k⇔ − + − + = 
( ) 2
2
2 1
x
g x x x k
=
⇔ 
= + − +
Điều kiện để có BC: 
Khi đó tọa độ 
( ) ( )1 1 2 2; ; ;B x y C x y thỏa 
hệ: 
( )
( )
2 2 1 0 1
2 4 2
x x k
y kx k
 + − + =

= − +
(1) 2 1
2 ' 2x x k
a
∆
⇔ − = = 
(2) ( )2 1 2 1 2y y k x x k k⇔ − = − = 
( ) ( )2 22 1 2 1 2 2BC x x y y= − + − =


3 34 4 2 2 4 4 8 0 1k k k k k⇔ + = ⇔ + − = ⇔ = 
x
y
x
y
2 2
x
y
( )
' 0 0 0
2 0 4 4 1 0 9
k k
g k k
∆ > > > 
⇔ ⇔  
≠ + − + ≠ ≠  
 36 
Vậy ( ): 1 2 4y x∆ = − + 
Bài 3: Cho (C) ( ) 3 23 2y f x x x= = − + . Tìm trên đường thẳng (d):y=-2 những điểm mà từ đó có thể vẽ 
được đến (C) : 
a. Ba tiếp tuyến phân biệt 
b. Ba tiếp tuyến phân biệt trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau 
Giải: 
a. Ba tiếp tuyến phân biệt 
Xét ( ; 2) : 2A a d y− ∈ = − . 
Phương trình đường thẳng ∆ qua ( ; 2)A a − và có hệ số góc : 
( ) ( )2y k x a= − − ∆ . 
∆ tiếp xúc với (C) 
 Hệ phương trình sau có nghiệm: 
( ) ( )
( )
3 2
2
3 2 2 1
3 6 2
x x k x a
x x k
 − + = − −

− =
Thay k từ (2) vào 1 ta được: 
( )( ) ( )3 2 23 2 3 6 2 3x x x x x a− + = − − − 
( )3 22 3 1 6 4 0x a x ax⇔ − + + − = 
( ) ( )32 2 3 1 2 0x x a x ⇔ − − − + =  
( ) ( ) ( )2
2
2 3 1 2 0 4
x
g x x a x
=
⇔ 
= − − + =
Từ A kẻ được ba tiếp tuyến phân biết đến (C) 

 phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt 

 phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 
( )
( )
( ) ( )
2
2
50 3 1 16 0 1
*32 0 2.2 3 1 .2 2 0 2
g a a a
g a a
∆ >
− − >   
⇔ ⇔ ⇔  ≠ − − + ≠   ≠
b. Ba tiếp tuyến phân biệt trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau 
Khi đó phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt: 
0 1 22; ;x x x= ( với x1;x2 là hai nghiệm của phương trình g(x)=0) và 3 tiếp tuyến ứng với hệ số góc là: 
( ) ( ) ( )2 20 1 1 1 1 2 2 2 2' 2 0; ' 3 6 ; ' 3 6k f k f x x x k f x x x= = = = − = = − 
Vì 0 0k = nên : Ycbt 
 k1.k2=-1. 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 23 6 3 6 1 9 2 4 1 **x x x x x x x x x x x x ⇔ − − = − ⇔ − + + = −  
 Áp dụng định lí Viet cho phương trình (4) ta có: 
1 2
3 1a
x x
x
−
+ = và 1 2 1x x = 
Do đó (**) 
3 19 1 2 4 1
2
a −  
⇔ − + = −  
  
55
27
a⇔ = (thỏa điều kiện (*)). 
Vậy điểm cần tìm là 
55
; 2
27
A − 
 
. 
 37 
DẠNG TOÁN: HỌ ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH 
Phương pháp: 
 Dạng 1: Cho họ đường cong ( )mC :y=f(x;m). chứng minh ( )mC luôn tiếp xúc với một đường (C) cố định . 
◊ TH1: 
( )mC :y=f(x;m). là hàm đa thức. 
Đưa : ( );y f x m= về dạng: ( ) ( ) ( ): ê 2ny ax bm g x n nguy n= ± + + ≥ . 
Xét đường cong ( ) ( ):C y g x= và chứng minh hệ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 ' '
n
n
ax bm g x g x
na ax bm g x g x−
± + + =

± + + =
 Có nghiệm m∀ 
◊ TH2: 
( )mC :y=f(x;m). là hàm hữu tỉ: (Dạng tổng quát) 
(∆ ) tiếp xúc với (C) 
 hệ sau có nghiệm 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
2
1
2
c
ax b k x x y
x d
c
a k x a
x d

+ + = − + +

 − = ≠
+
Giải hê trên qua 3 bước: 
B1: nhân 2 vế của phương trình (2) cho: x+d 
 ( ) ( )3cax ad k x d
x d
+ − = +
+
B2: (1)-(3): 
 ( )0 02cb ad k x d y
x d
− + = − − +
+
 ( ) ( )0 02 4c k x d y ad b
x d
⇔ = − − + + +
+
B3: Thay (4) vào (2) sẽ có 1 phương trình theo k. giải phương trình này và tìm m sao cho phương trình 
đúng m∀ . 
Lưu ý: cách giải trên có thể áp dụng đối với hàm số 
ax b
cx d
+
+
Dạng 2: Tìm điều kiện để họ đường cong tiếp xúc với 1 đường cố định: 
Dùng điều kiện tiếp xúc. 
II/ Một số ví dụ: 
Bài 1: Cho ( ) ( )3 2 2: 2 2 1 2mC y x x m x m= + + + + + . Chứng minh rằng (Cm) luôn tiếp xúc với một đường 
cong cố định. 
Giải: 
Ta có: ( ) ( )3 2 2: 2 2 1 2mC y x x m x m= + + + + + ( )2 3 2 2x m x x x⇔ + + + + + 
Xét đường cong ( ) 3 2: 2C y x x x= + + + 
( )mC luôn tiếp xúc với (C): hệ sau có nghiệm: 
( )
( ) ( )
2 3 2 3 2
2 2
2 2
1
2 3 2 1 3 2 1
x m x x x x x x
x m x x x x
 + + + + + = + + +

+ + + + = + +
 38 
Ta có: ( ) ( )( )
2 0
1
2 0
x m
x m
 + =
⇔ 
+ =
 Rõ ràng với mọi m , hệ (1) luôn có nghiệm x=-m 
Vây m∀ , (Cm) luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định: ( ) 3 2: 2C y x x x= + + + . 
Bài 2: 
Cho ( ) ( ) ( )22 2 4:m m x m mC y
x m
− − − +
=
−
. Chứng minh (Cm) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. 
Giải: 
( ) ( ) ( )22 2 4:m m x m mC y
x m
− − − +
=
−
 ( ) 42y m
x m
⇔ = − −
−
(Cm) luôn tiếp xúc với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + 
⇔ Hệ phương trình sau có nghiệm m∀ : 
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
42 1
4 2
m ax b
x m
I
a
x m

− − = +
−

 =
−
◊ Nhân 2 vế của phương trình (2) cho: x-m 
( ) ( )4 3a x m
x m
⇒ = −
−
◊ Lấy (1)-(3): 
( ) ( ) ( )8 82 1 2 4m b am a m b
x m x m
−
⇔ − − = + ⇔ = − + +
− −
◊ Thay (4) vào (2): 
( ) ( ) 21 2 16a m b a⇔ − + + =   
( ) ( )( ) ( ) ( )2 221 2 1 2 2 16 0 *a m a b m b a⇔ − + − + + − − = 
Hệ (1) có nghiệm m∀ ( )*⇔ đúng m∀ : 
( )
( )( )
( )
2
2
1 0
1
2 1 2 0
2 6
2 16 0
a
a
a b
b b
b a

− =
 =
⇔ − + = ⇔ 
= ∨ = −
+ − =
Vậy (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định y=x+2 và y=x-6 
 39 
Bài tập tự luyện 
1. Cho hàm số ( ) ( )3 2 21 11 23 3y x m x m m x= − + + + − . Định m để hàm số: 
a) Tăng trên R 
b) Giảm trên (0;1) 
c) Tăng trên (-∞;2) 
d) Giảm trên đoạn có độ dài bằng 3 
e) Tăng trên 2 khoảng (-∞;0) và (2; +∞) 
2. Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 3: 3 3 1 1mC y x mx m m x m= + + − + + + + . Tìm m để: 
a) (Cm) có điểm cực đại nằm trên x=5 
b) Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm có hoành độ >1 
c) Hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 sao cho: 1 2
2 1
14
5
x x
x x
−
+ = 
3. Cho hàm số ( ) 3: 3 2mC y x x= − + . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất 
b) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua M(1;0) 
c) Tìm trên Ox những điểm mà từ đó kẻ được trên C đúng: 
 ◊ một tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến 
 ◊ Ba tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 
d) Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm mà từ đó kẻ được trên C đúng: 
 ◊ một tiếp tuyến ◊ hai tiếp tuyến 
 ◊ Ba tiếp tuyến 
e) Tìm trên (C) những điểm mà từ đó kẻ được trên C đúng 1 tiếp tuyến. 
4. Cho hàm số ( ) 4 2: 2 2 1mC y x mx m= − + − . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại bốn diểm phân biệt có hoàn độ lập 
thành cấp số cộng. 
5. Xác định m để phương trình có nghiệm duy nhất: 3 2 1 0x mx+ − = 
6. Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 3: 3 3 1mC y x mx m x m= − + − − . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó 
có đúng 2 điểm có hoành độ âm. 
7. Cho hàm số ( ) ( )3: 1 1mC y x k x= + + + . Tìm k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 1y x∆ = + 
8. Cho hàm số ( ) 3 2 3: 3 4mC y x mx m= − + . Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng ( ) :d y x= tại A,B,C sao cho 
AB=BC. 
9. Cho hàm số ( ) 2 1:
2m
xC y
x
+
=
+
. Chứng tỏ rằng đường thẳng y=-x+m luôn luôn cắt đồ thị tại hai điểm 
phân biệt AB. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất. 
10. Cho hàm số ( ) ( ) ( )
23 1
: 1
m
m x m m
C y
x m
+ − +
=
+
. Trong đó m là tham số khác 0: 
a) Tìm những điểm mà đồ thị không đi qua m∀ . 
b) Chứng minh rằng đồ thị của (1) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định. 
11. Cho hàm