Cách giải bài toán xác suất lớp 11

LỜI NÓI ĐẦU
“Xác suất - thống kê” thuộc môn “Toán ứng dụng”, trước kia ”Xác suất - thống kê” chỉ được dạy ở chương trình Đại học. Cùng với việc đổi mới chương trình và SGK bậc THPT, ”Xác suất - thống kê” được đưa vào chương trình bậc THPT: Lớp 10 phần thống kê, Lớp 11 phần xác suất.
	Bộ môn ”Xác suất - thống kê” mang tính thực tiễn cao, các bài toán về xác suất - thống kê thường gặp trong cuộc sống hàng ngày, lí thuyết ”Xác suất - thống kê” được ứng dụng hầu hết trong các ngành khoa học. Hàng ngày, trong nhiều hoạt động của con người thường phải đối mặt với những tình huống không thể dự đoán trước một cách chính xác, nhưng khi phải quyết định những tình huống không chắc chắn đó chúng ta cần phải biết tính toán phần trăm xảy ra là bao nhiêu, bộ môn “Xác suất” giúp ta tính toán phần trăm đó một cách khoa học.
	Tổ hợp – Xác suất thuộc chương II, sgk Toán 11 là một chương mang tính độc lập bởi vì các kiến thức hầu như không liên quan đến các chương khác, cách suy luận không hoàn toàn giống với suy luận của toán, nội dung này mới đối với cả giáo viên và học sinh. Tổ hợp được đánh giá là một nội dung khó trong chương trình toán PT vì các bài toán tổ hợp đòi hỏi phải hiểu chính xác mối quan hệ giữa các đối tượng mà khó diễn đạt bằng lời, bằng công thức một cách đầy đủ. Các bài toán về xác suất liên quan chặt chẽ đến tổ hợp, muốn giải tốt các bài toán xác suất cần có kĩ năng giải các bài toán tổ hợp tốt và phải hiểu, nắm chắc các khái niệm, định nghĩa mang tính trìu tượng của xác suất. Chính vì vậy xác suất là một nội dung khó đối với học sinh.
	Trong bài viết này tôi đưa ra một số định hướng cho học sinh khi giải bài toán xác suất, các phân tích bài toán để có thể tìm được lời giải của bài toán. Khi gặp bài toán xác suất học sinh cần định hướng được bài toán theo: Áp dụng đinh nghĩa cổ điển của xác suất hoặc áp dụng các qui tắc tính xác suất.
B. NỘI DUNG
Cách giải bài toán xác suất lớp 11
I. Các kiến thức cần nhớ:
1) Các kiến thức về tổ hợp: Qui tắc cộng, qui tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
2) Các khái niệm liên quan đến biến cố. Hiểu và xác dịnh được biến cố hợp, biến cố giao, biết phân biệt và xác định được hia biến cố xung khắc, đối nhau, độc lập. Nắm chắc các qui tắc tính xác suất của các biến cố.
3) Định nghĩa cổ điển của xác suất.
II. Phương pháp giải:
1. Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra). 
Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi).
Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra: 
Chú ý:
Khi tính số phần tử của không gian mẫu và tập hợp mô tả biến cố cần nắm chắc kiến thức về tổ hợp để tìm.
Khi áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất cần thoả mãn hai điều kiện:
Không gian mẫu chỉ có hữu hạn các phần tử(số phần tử đếm được)
Các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng.
 Ví dụ: Khi gieo con súc sắc hoặc đồng tiền phải cân đối đồng chất để khả năng xuất hiện các mặt là như nhau, khi chọn quả cầu trong hộp thì khả năng chọn mỗi quả là như nhau.. đó chính là tính đồng khả năng. Khi gieo con súc sắc số lần gieo hữu hạn, số quả cầu trong hộp hữu hạn đó chính là tính hữu hạn của các phần tử của không gian mẫu.
2. Áp dung các qui tắc tính xác suât:
* Bước 1:
Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là: sao cho:
Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố : .
Xác xuất của các biến cố : là tính được(dễ hơn so với A)
Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố.
* Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố.
* Bước 3:
 Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc:
 1) Nếu xung khắc: 
 2) Nếu đối nhau: 
 3) Nếu độc lập: 
Chú ý: A và B độc lập thì cũng độc lập.
 A và B độc lập
Bài1:
	Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen. Lần lượt lấy ra 3 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ.
Giải:
Cách1: ĐN cổ điển của xác suất
Gọi A là biến cố: “Trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ”
 Vì sự lựa chọn không phân biệt thứ tự lấy nên số kết quả của quá trình lựa chọn là một tổ hợp chập 3 của 5+6=11 phần tử .
 Trong 3 bi lấy ra: Chọn 2 bi màu đỏ trong 5 bi đỏ có cách, còn 1 bi (màu đen) chọn trong 6 bi có cách 
Cách 2: Gọi là biến cố lần thứ i lấy được bi màu đỏ, i=1,2,3
 Có: 
độc lập nên: độc lập; độc lập; độc lập
Ba biến cố: xung khắc
Vậy: 
Bài toán:
Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ 3 màu:
HD: Gọi A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu”
 là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu”
Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng
	1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng
	1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng
Bài2:(Sách BTCB11)
Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất sao cho lấy được hai quả khác màu
Giải:
Cách 1: 
 Gọi C là biến cố: “ lấy ra 2 quả khác màu”
 Lấy từ hộp thứ nhất 1 quả, hộp thứ hai 1 quả Số phần tử của không gian mẫu là: 
 Có 2 khả năng lấy được hai quả khác màu:
 Hộp 1 lấy được quả đỏ, hộp 2 lấy được quả xanh số khả năng:
 Hộp 1 lấy được quả xanh, hộp 2 lấy được quả đỏ số khả năng:
Cách 2:
Gọi A là biến cố lấy được từ hộp 1 quả màu đỏ
Gọi B là biến cố lấy được từ hộp 2 quả màu đỏ
 Có: 
 A và B độc lập thì cũng độc lập, xung khắc nên:
Chú ý: Gọi D là biến cố: “ lấy ra 2 quả cùng màu”
Bài 3:
 Có 3 xạ thủ cùng bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia?
Giải:
Gọi là biến cố người thứ i bắn trúng bia, i=1,2,3
A là biến cố có ít nhất một người nào bắn trúng bia
 là biến cố không có người nào bắn trúng bia
.
Chú ý: 
1.Bài toán trên nhưng nếu 3 xạ thủ bắn lần lượt cho đến khi bắn trúng bia thì thôi. Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5?
Giải: Gọi A là biến cố mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5
 Ta có: 
2.Bài toán: Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có: a) ít nhất một lần bắn trúng bia?
	 b) Bắn trúng bia đúng 1 lần?
Giải:
a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia 
b. Gọi là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3
A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần
3. Hiển nhiên khi đọc bài toán trên không thể giải theo định nghĩa cổ điển của xác suất vì không thể tìm được số phần tử của không gian mẫu.
Bài 4:
	Trường THPT Đội Cấn có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5 séc thì được nhận toàn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4 ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí?
(Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ)
Sai lầm thường gặp:
Nhiều người cho rằng cần chia giải thưởng theo tỉ lệ 4:3, cũng có người cho rằng cần chia theo tỉ lệ 3:2 (với lập luận Đội 1 thắng nhiều hơn 1 ván bằng của 5 nên Đội 1 nhận giải, phần còn lại chia đôi mỗi người một nửa).
Tất cả các ý kiến trên đều sai.
Bài giải: Nếu tiếp tục chơi thêm 2 ván “giả tạo” nữa thì xác suất chiến thắng của Đội 2 (nhận toàn bộ giải) là: và do đó xác suất thắng cuộc của Đội 1 là . Vì vậy phải chia giải thưởng theo tỉ lệ 3:1 là hợp lí nhất.
( Bài toán này được dựa trên bài toán "Nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ" )