Chuyên đề: Hàm số mũ - Hàm số lôgarít phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarít

 
• n n n(a.b) a .b= 
• 
n
n
n
a a( )
b b
= 
3. Hàm số mũ: Dạng : xy a= ( a > 0 , a≠ 1 ) 
• Tập xác định : D R= 
• Tập giá trị : T R+= ( xa 0 x R> ∀ ∈ ) 
• Tính đơn điệu: 
 * a > 1 : xy a= đồng biến trên R 
 * 0 < a < 1 : xy a= nghịch biến trên R 
• Đồ thị hàm số mũ : 
Minh họa: 
 a>1 
 y=ax 
y
x1
 0<a<1 
 y=ax
y
x1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2x y=
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
1 
1 x
y y
x1
OO
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 
dn M
alog N M a N= ⇔ = 
 Điều kiện có nghĩa: Nalog có nghĩa khi ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≠
>
0
1
0
N
a
a
2. Các tính chất : 
• alog 1 0= 
• alog a 1= 
• Malog a M= 
• log Naa N= 
• a 1 2 a 1 a 2log (N .N ) log N log N= + 
• 1a a 1 a 2
2
Nlog ( ) log N log N
N
= − 
• a alog N . log Nα = α Đặc biệt : 2a alog N 2. log N= 
3. Công thức đổi cơ số : 
• a a blog N log b. log N= 
• ab
a
log Nlog N
log b
= 
 * Hệ quả: 
• a
b
1log b
log a
= và k aa
1log N log N
k
= 
4. Hàm số logarít: Dạng ay log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) 
• Tập xác định : +=D R 
• Tập giá trị =T R 
• Tính đơn điệu: 
* a > 1 : ay log x= đồng biến trên +R 
* 0 < a < 1 : ay log x= nghịch biến trên +R 
• Đồ thị của hàm số lôgarít: 
Minh họa: 
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 
 1. Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : aM = aN ⇔ M = N 
 2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến) 
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) 
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N 
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến) 
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) 
0<a<1 
 y=logax 
1 x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
 y=log2x 
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1log=
1O 1O
 a>1 
 y=logax 
1
y
x
O
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 Dạng cơ bản: xa m= (1) 
• m 0≤ : phương trình (1) vơ nghiệm 
• m 0> : x aa m x log m= ⇔ = 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : aM = aN 
 (Phương pháp đưa về cùng cơ số) 
 Ví du 1 : Giải các phương trình sau : 
 1) x 1 2x 19 27+ += 
 2) 
2x 3x 22 4− + = 
 3) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + ++ = − 
 Ví du 2ï : Giải các phương trình sau 
 1) 
x 10 x 5
x 10 x 1516 0,125.8
+ +
− −= 
 2) 
x 5 x 17
x 7 x 332 0,25.128
+ +
− −= 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2x 8 x 53 4.3 27 0+ +− + = 
 2) x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 
 3) x x x5.2 7. 10 2.5= − 
 4) x x( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 
 5) ( ) ( )x x5 2 6 5 2 6 10+ + − = 
 6) 322
222 =− −+− xxxx 
 7) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 
 8) 07.714.92.2 22 =+− xxx 
 9) 
2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = 
 10) 3 2cosx 1 cosx4 7.4 2 0+ +− − = 
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1±x ) 
 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 
 3) 13250125 +=+ xxx (x=0) 
 4) 1221025 +=+ xxx (x=0) 
 5) x x( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2±=x 
 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 
 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : 
 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 
 2) 0422.42 2
22 =+−− −+ xxxxx 
 3) 2x 1 x 1 x5 7 175 35 0+ ++ − − = 
 4) x 3 6 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 x .2 2− + − +− ++ = + 
 5) ( )
22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + 
 4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đĩ 
 (Phương pháp lơgarít hĩa) 
 Ví dụ : Giải phương trình 
 1) 
2x 1 x x 23 .2 8.4− −= 
 2) 
1
5 .8 500
x
x x
−
= 
 5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh 
 nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C 
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong 
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( 
do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương 
trình f(x) = g(x)) 
 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 3x + 4x = 5x 
 2) 2x = 1+ 
x
23 
 3) x1( ) 2x 1
3
= + 
 4) 3 x 22 x 8x 14− = − + − 
 5) ( )x 2 x 23.25 3x 10 .5 3 x 0− −+ − + − = 
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 
 2) xx −= 32 (x=1) 
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 Dạng cơ bản: alog x m= (1) 
• m∀ ∈\ : malog x m x a= ⇔ = 
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a alog M log N= (đồng cơ số) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
1) 22 1
2
1log log (x x 1)
x
= − − 
2) [ ]2log x(x 1) 1− = 
3) 2 2log x log (x 1) 1+ − = 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) + =xlog (x 6) 3 
 2) x x 12 1
2
log (4 4) x log (2 3)++ = − − 
 3) )3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) 
 4) ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = ( )x 3; x 3 2 3= = − + 
 5) ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + ( )x 2; x 1 33= = − 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2
2 2
6 4 3
log 2x log x
+ = 
 2) 051loglog 23
2
3 =−++ xx 
 3) 4 2 2 4log log x log log x 2+ = 
 4) x 3 3x
1log 3 log x log 3 log x
2
+ = + + 
 5) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= 
 6) x x x
16 64
log 2.log 2 log 2= 
 7) 25x 5
5log log x 1
x
+ = 
 8) ( ) ( ) ( )3log 9 x 2 3x 2 9 x 2−− = − 
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2. log x 2 log x. log x7 72 2+ = + 
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. 
 (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C 
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong 
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . 
 ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương 
 trình f(x) = g(x)) 
 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + 
 2) ( )6log x2 6log x 3 log x+ = 
 3) ( )2 3log 1 x log x+ = 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
3 6x
4x 11
2x 6x 8
1) 2 1
12) 2
2
−
− −
+ +
>
⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 
2 x x 1x 2x 13 ( )
3
− −− ≥ 
 2) 
2
x 1
x 2x
1 2
2
−
− ≥ 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4+
< +
> + 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2x x 22 3.(2 ) 32 0+− + < 
 2) x 3 x2 2 9−+ ≤ 
 3) 2x 4 x x 23 45.6 9.2 0+ ++ − ≤ 
 4) 
2 1 1
x x1 1( ) 3.( ) 12
3 3
++ > 
 5) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 
 6) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2≤x ) 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a alog M log N ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 2) log (x 3)+ − > + 
 2) 20,5 0,5log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + + 
 3) 21 3
3
log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0− + + − ≥ 
 4) ( )1 1 2
2 4
log x 2 log x 1 log 6 0+ − + ≤ 
 5) 1 3
2
x 1log log 0
x 1
+ ≥− 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 2xlog (5x 8x 3) 2− + > 
 2) − <2 3
3
log log x 3 1 
 3) 23x xlog (3 x) 1− − > 
 4) x9xlog (log (3 9)) 1− ≤ 
 5) ( )( )xx 3log log 9 72 1− ≤ 
 6) )12(log12log4)1444(log 2555 ++<−+ −xx 
 7) ( ) ( )x 2x 1 x1 1
4 2
log 4 4 log 2 3.2++ ≥ − 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 
 1) 22 2log x log x 2 0+ − ≤ 
 2) log x 42x 32+ < 
 3) 
2log x log x6 66 x 12+ ≤ 
 4) 23 1 4
2
log x log x 2 0+ − > 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xx2 3 2log (3 2) 2. log 2 3 0++ + − > 
 2) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ 
 3) 2
3log
3)(log
2
2
2 >+
+
x
x (
2
1
8
1 << x ) 
VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình 
 1) 
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩
 6) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
= −−
4)(log)(log
)
3
1()3(
22
2
yxyx
yxyx
 2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−−
25
11log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
 7) 
y
3
3 4 x( x 1 1)3
x
y log x 1
⎧ −+ − =⎪⎨⎪ + =⎩
 3) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
 8) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=−
2)(log
11522.3
5 yx
yx
 4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
3
644.2
yx
yx
 9) x 4 y 3 0
log x log y 04 2
− + =
− =
⎧⎨⎩
 5) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình 
 Bài 1: Giải các phương trình 
 1) 1
2
12
2
12.62 )1(3
3 =+−− − xxxx (x=1) 
 2) )4(log4log2)1(log 382
2
4 xxx ++−=++ ( 622;2 −== xx ) 
 3) )2(loglog 37 += xx (x=49) 
 4) )2(loglog 75 += xx (x=5) 
 5) 072.32.5 3513 =+− −− xx (x=1) 
 6) 
32812 2
1log4log232log +=−− xx ( 2
5=x ) 
 7) 
x
xx
x 1
322log
3
2log =−− (x=1,x=2,x=4) 
 8) 058
log3
22
log
2 =−−+ xxxx ( 2,
2
1 == xx ) 
 9) xxxx 26log)1(log 2
2
2 −=−+ ( 2,4
1 == xx ) 
 10) 
x
xx
4
4 log
2)10(log.2log21 =−+ (x=2,x=8) 
 Bài 2: Giải các bất phương trình 
 1) 09.93.83 442 >−− +++ xxxx (x>5) 
 2) 23.79 12
222 ≤− −−−−− xxxxxx ( 20
4
1 ≥∨≤≤− xx ) 
 3) 
xxx −+−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 112
2
1
2
1
36
 ( 1101 >∨<<∨−< xxx ) 
 4) 0128
8
1
4
1 13 ≥−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −xx (
3
4−≤x ) 
 5) )1(log1)21(log 55 ++<− xx ( 2
1
5
2 <<− x ) 
 6) xx 22 loglog2 >− ( 24
1 <≤ x ) 
 7) 1)93(loglog 9 x ) 
 8) 
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4 −
<+ xxx ( 13
2 << x ) 
 9) 0
1
)3(log)3(log 3
3
1
2
2
1
>+
+−+
x
xx
 (-2 < x <-1) 
Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1. 
2
1
2
3 2log
2
x xy
x
− −= + 2. 
3 8 0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x xy
x x
− − − − −= +
− −
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số 
Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−− xx m ( 10 ≥∨< mm ) 
Bài 2: Cho phương trình: 022.4 1 =+− + mm xx 
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx ≠ sao cho 321 =+ xx (m=4) 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm xx 
 (
4
31 −<<− m ) 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU) 
Bài 1: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)− + + − − = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
⎧ ⎧⎪ ⎪− > >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ > ⇔ >− ⇔ <⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
22
1 1
2 2
22
2 2
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1 log x 1 log 7 x
2
1 x 1 7 x
2
 2x 1 49 14x x
 x 14x 50 0
x 3
x 17
⇔ − + + − − =
⎡ ⎤⇔ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇔ − = −
⇔ − = − +
⇔ + − =
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 3= 
Bài 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2
+ − = − + 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
⎧ ⎧⎪ ⎪+ ≠ ≠ −⎪ ⎪ ⎧− ⇔ >−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2
2
1 3 log x 2 3 3 log 4 x 3 log x 6
 log x 2 1 log 4 x log x 6
 log 4 x 2 log 4 x x 6
 4 x 2 4 x x 6
x 2 x 84 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0
4 x 2 4 x x 6 x 1 33x 2x 32 0
⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
⇔ + = − +
⇔ + = − +
⎡ ⎡ = ∨ = −⎡ + = − + + − =⎢ ⎢⎢⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢⎢ + = − − + = ±− − =⎢ ⎢⎢⎣ ⎣⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 2 x 1 33= ∨ = − 
Bài 3: Giải phương trình: ( ) ( )2 12 4
2
log x 2 log x 5 log 8 0 (1)+ + − + = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ + > ⎧ > −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠− ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )( )
( )( )
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 5x 5x 5
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 2 x 52 x 5 2 x 5
3 17x 2 5 x 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ + + − =
⇔ + − =
⇔ + − =
>⎧⎪⎡ >⎡ ⎧>⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎪⎢ ⎨⎨⎨ = − ∨ =⎪⎢⎢ ⎪⎪⎪ + − = − − = ⎩⎢⎢ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩⎢⎢⇔ ⇔ ⇔ ⎧− < <⎢⎢⎧ ⎧− < < − < <⎪ ⎪⎢⎢⎪ ⎪⎨ ⎢⎨⎢ ±⎪ ⎪+ − = − − =⎢ =⎢⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎣ ⎩⎣
x 6
3 17x
2
⎡⎢⎢ ⎡ =⎢ ⎢⎢ ⎢⇔⎢ ±⎪ ⎢⎪⎢ =⎪ ⎢⎪⎢ ⎣⎨⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎩⎣
Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
x 6
3 17x
2
⎡ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
Bài 4: Giải phương trình: 12 2
2
log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ − ≠ ⎧ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠ −+ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 3 17x 2 x 5 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ − + =
⇔ − + =
⎡ = − ∨ =⎡⎡ − + = + − = ⎢⎢⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔⎢⎢ ±⎢− + = − − + =⎢ =⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 
x 3 x 6
3 17x
2
⎡ = − ∨ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
 Bài 5: Giải phương trình: ( )4 2
2x 1
1 1log x 1 log x 2
log 4 2+
− + = + + (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1x 1 0
12x 1 0 x
2 x 1
2x 1 1 x 0
x 2 0 x 2
⎧ >⎪⎧ − > ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ + > ⎪ > −⎪ ⎪⎪ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨⎪ ⎪+ ≠⎪ ⎪ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪+ >⎪ ⎪ > −⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 1 1 11 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
 log x 1 2x 1 log 2 x 2
 x 1 2x 1 2 x 2
x 1
 2x 3x 5 0 5x
2
⇔ − + + = + +
⇔ − + = +
⇔ − + = +
⎡ = −⎢⎢⇔ − − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 5x
2
= 
Bài 6: Giải phương trình: 
2
2 2 2log 2x log 6 log 4x4 x 2.3− = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: x 0> 
Khi đĩ: ( )
2
22 2 2 2 2 2 1 log xlog 2x log 6 log 4x 1 log x log 64 x 2.3 4 x 2.3 ++− = ⇔ − = 
Đặt t2t log x x 2= ⇒ = , phương trình (2) trở thành: 
( ) ( ) ( )2 2 tlog 6 2 1 t1 t t t log 6 t
2t t
t t t
2t t
4 2 2.3 4.4 2 18.9
3 3 4.4 6 18.9 4 18
2 2
3 3 18 4 0
2 2
++ − = ⇔ − =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ − = ⇔ − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
t
t
3 4
2 9 t 2
3 1 (loai)
2 2
⎡⎛ ⎞⎟⎢⎜ =⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⇔ ⇔ =−⎢⎛ ⎞⎢ ⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣
Với t 2= − ta được nghiệm của phương trình (1) là : 1x
4
= 
Bài 7: Giải phương trình: ( )3 9x
3
42 log x .log 3 1
1 log x
− − =− (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
3
x 0x 0
19x 1 x
9
log x 1 x 3
>⎧⎪⎧⎪ ⎪>⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ≠ ⇔ ≠⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪≠⎪ ⎪ ≠⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
 ( ) ( )
3 3
3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 41 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
− −⇔ − = ⇔ − =− + − 
Đặt 3t log x (t 2; t 1)= ≠− ≠ , phương trình (2) trở thành: 
 2
t 12 t 4 1 t 3t 4 0
t 42 t 1 t
⎡ = −− ⎢− = ⇔ − − = ⇔ ⎢ =+ − ⎢⎣
• Với t 1= − ta được pt : 3 1log x 1 x 3= − ⇔ = 
• Với t 4= ta được pt : 3log x 4 x 81= ⇔ = 
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là 1x ; x 81
3
= = 
Bài 8: Giải phương trình: ( ) ( )x x+13 3log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: − > ⇔ > ⇔ >x x3 1 0 3 1 x 0 
Khi đĩ: ( ) ( ) ( )⇔ + − =⎡ ⎤⎣ ⎦x x3 31 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6 
Đặt: ( )= −x3t log 3 1 , pt trở thành: ( )
=⎡+ = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎢⎣
2
t 2
t t 1 6 t t 6 0
t 3
• Với = −t 3 : ( )− = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 31 28 28log 3 1 3 3 1 3 x log27 27 27 
• Với =t 2 : ( )− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 3log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10 
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện. 
Vậy pt(1) cĩ hai nghiệm là = =3 328x log ; x log 1027 
Bài 9: Giải phương trình: =x 7log 7x .log x 1 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
>⎧⎪⎨ ≠⎪⎩
x 0
x 1
Khi đĩ: ( ) ( ) ⎛ ⎞⇔ = ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠x 7 77
1 1 11 log 7x .log x 1 1 .log x 1
2 2 log x
Đặt = 7t log x , pt trở thành: 
>⎧ >⎧⎪ ⎪⎛ ⎞+ = ⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + − =⎝ ⎠ + =⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩
22
t 0 t 01 11 .t 1 t 11 1 t t 2 02 t 1 .t 1
2 t
• Với =t 1 : = ⇔ =7log x 1 x 7 (thỏa điều kiện) 
Vậy pt(1) cĩ nghiệm là =x 7 
Bài 10: Giải phương trình: ( ) ( )− ++ − + − =222x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
⎧ ⎪⎧ + − > ⎪⎪ ⎪ >− >⎪ ⎧⎪ >⎪ ⎪ ⎪− ≠ ⇔ ≠ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩+ > > −⎪ ⎪⎪ ⎪ ≠+ ≠⎩ ⎪⎪⎩
2
1x 1 x
22x x 1 0
1x2x 1 0 12 x
22x 1 1 x 1
x 1x 1 0 x 1
x 0x 1 1
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
− +
−
−
⇔ − + + − =
⇔ + + + =+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1 log 2x 1 x 1 2 log 2x 1 4
1 1 log x 1 2 4
log x 1
Đặt ( )−= +2x 1t log x 1 , pt trở thành: 
=⎡+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2
t 12t 3 t 3t 2 0
t 2t
• Với =t 1 : ( )− + = ⇔ + = − ⇔ =2x 1log x 1 1 x 1 2x 1 x 2 (thỏa điều kiện) 
• Với =t 2 : ( ) ( )−
=⎡⎢+ = ⇔ + = − ⇔ − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2 2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0 5x
4
Vậy pt(1) cĩ tập nghiệm là { }= 5S 2; 4 
Bài 11: Giải bất phương trình: − + ≥
2
1
2
x 3x 2log 0
x
 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
 ⇔ ⎢ >⎢⎣
2 0 x 1x 3x 2 0
x 2x
Khi đĩ: 
( ) − +⇔ ≥
− +⇔ ≤
− +⇔ ≤
<⎡⇔ ⎢ − ≤ ≤ +⎢⎣
2
1 1
2 2
2
2
x 3x 21 log log 1
x
x 3x 2 1
x
x 4x 2 0
x
x 0
2 2 x 2 2
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
⎡ − ≤ <⎢⎢ < ≤ +⎣
2 2 x 1
2 x 2 2
Bài 12: Giải bất phương trình: +⎛ ⎞ <⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
0,7 6
x xlog log 0
x 4
 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
+ +⎧ ⎧> > − ⇔ > ⇔ ⎢⎨ ⎨ >+ ++ + ⎢⎪ ⎪ ⎣> >⎪ ⎪+ +⎩ ⎩
2 2
2 2
2 2
6
x x x x0 0 4 x 2x x x 4x 4 x 4 1 0
x 2x 4 x 4x x x xlog 0 1
x 4 x 4
Khi đĩ: 
( ) + +⎛ ⎞⇔ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
+ +⇔ > ⇔ >+ +
− ⇔ ⎢ >+ ⎢⎣
2 2
0,7 6 0,7 6
2 2
6 6
2
x x x x1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x log log 6 6
x 4 x 4
4 x 3x 5x 24 0
x 8x 4
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
− ⎢⎣
4 x 3
x 8
Bài 13: Giải bất phương trình: ( ) ( )− + + ≤13
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
⎧ >− >⎧ ⎪⎪ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨+ >⎪ ⎪⎩ > −⎩
3x4x 3 0 34 x
2x 3 0 3 4x
2
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
⇔ − ≤ + +
⇔ − ≤ +
⇔ − ≤ +
⇔ − − ≤
⇔ − ≤ ≤
2
3 3
2
3 3
2
2
1 log 4x 3 2 log 2x 3
 log 4x 3 log 9 2x 3
 4x 3 9 2x 3
 16x 42x 18 0
3 x 3
8
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là < ≤3 x 3
4
Bài 14: Giải bất phương trình: 
−
− ⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
2x x
x 2x 19 2 3
3
 (1) 
Bài giải: 
Ta cĩ: 
−
− − −⎛ ⎞− ≤ ⇔ − − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x19 2 3 9 2.3 3 0
3
Đặt −= >2x 2xt 3 (t 0) , bpt trở thành: − − ≤ ⇔ − ≤ ≤2t 2t 3 0 1 t 3 
Do >t 0 nên ta chỉ nhận < ≤0 t 3 
Với < ≤0 t 3 : −< ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +2x 2x 2 20 3 3 x 2x 1 x 2x 1 0 1 2 x 1 2 
Vậy bpt(1) cĩ tập nghiệm là ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦S 1 2;1 2 
Bài 15: Giải bất phương trình: ( ) ( )−+ − < + +x x 25 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 (1) 
Bài giải: 
Ta cĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
−
−
−
⎡ ⎤⇔ + − < +⎣ ⎦
⎡ ⎤⇔ + < +⎣ ⎦
⇔ + < +
⇔ − + <
⇔ < < ⇔ < <
x x 2
5 2 5
x x 2
5 5
x x 2
x x
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
 log 4 144 log 80 2 1
 4 144 80 2 1