Chuyên đề Phân loại bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

thẳng d thì là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
* là chỉ phương của d thì k cũng là chỉ phương của d ( k ≠ 0 )
2. Vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng:
* và có giá vuông góc với mặt phẳng () thì là VTPT của ()
* là VTPT của () thì k cũng là VTPT của () ( k ≠ 0 )
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: 
* Phương trình tổng quát của () có dạng Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C20)
* Nếu () có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì VTPT của () là ( A;B;C)
* Nếu () đi qua điểm M(x0;y0;z0) và nhận (A;B;C) là VTPT thì phương trình của () là :
 A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 ó Ax + By + Cz + D = 0 (D = -Ax0 - By0 - Cz0)
* Nếu () chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương =(a1;a2;a3), (b1;b2;b3) thì VTPT của () là = [, ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
* Nếu () cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0 ), B (0;b;0), C(0;0;c) thì () có phương trình là : (điều kiện a.b.c 0 ) 
( phương trình trên gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn )
4. Phương trình của đường thẳng :
Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)d  và VTCP của d là (a; b ; c ) thì :
 	* Phương trình tham số của đường thẳng d là : ( t là tham số)
* Phương trình chính tắc của d là : (a.b.c 0 )
5. Các kiến thức khác:
* Cho A(xA;yA;zA) và điểm B(xB; y B ; zB)
 	- Vectơ = (xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
 	- Toạ độ trung điểm I của AB là I = 
* Tích có hướng của và là một vectơ ký hiệu là [, ]
 	Nếu = (a1;a2;a3) và = (b1;b2;b3) thì [, ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1)
Chú ý:	 +) [, ] và [, ]
	 	 +) và cùng phương ó[, ]= 
PHẦN II. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong bài toán viết phương trình đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng.
Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :
TH1: Nếu đường thẳng cho dưới dạng tham số (d): thì 1 VTCP là (a;b;c)
TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng chính tắc (a.b.c 0 ) thì 1 VTCP là (a;b;c)
TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1VTCP là 
Ví dụ: Xác định toạ độ vectơ chỉ phương của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d : ( t là tham số) b/ d: 
Lời giải
a/ Ta có VTCP của d là =(- 2; 1; 5)
b/ Ta có VTCP của d là =(- 4; 5; 3)
PHẦN III. MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có chỉ phương = (a; b; c).
 Hướng dẫn: 
* Phương trình tham số của đường thẳng d là : ( t là tham số)
* Phương trình chính tắc của đường thẳng d là : ( điều kiện a.b.c 0 )
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là =(-3; 2; -1)
b/ d đi qua điểm M(-1;3;4) và có chỉ phương là =(1;-4;0)
Lời giải
a/ Ta có phương trình tham số của d là : ( t là tham số )
	phương trình chính tắc của d là: 
 b/ Phương trình tham số của d là: ( t là tham số )
 Không có phương trình chính tắc .
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A, B cho trước.
Hướng dẫn: - VTCP của d là 
	 - Chọn điểm đi qua là A hoặc B
- Đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua A(1; 2; -3) và B(-2; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua C(-1; 2; 3) và gốc toạ độ.
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên VTCP của d là = (-3; 0; 3)
 => phương trình tham số của d là ( t là tham số )
b/ Do d đi qua M và N nên VTCP của d là =(3; 0; -4)
phương trình tham số của d là: ( t là tham số )
c/ Do d đi qua C và O nên VTCP của d là =(-1; 2; 3)
phương trình tham số của d là: ( t là tham số )
Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng () .
Hướng dẫn: -VTPT của mặt phẳng () là VTCP của đường thẳng d 
	 đưa bài toán về dạng 1
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 4; 3) và vuông góc với ():2x - 3y – 6z + 19 = 0
b/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
c/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz)
d/ d đi qua B(1;-1;0) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz)
Lời giải
a/VTPT của () là (2;-3;-6). Do d () nên d nhận là VTCP
phương trình tham số của d là ( t là tham số)
b/ Do d (Oxy) nên VTCP của d là =(0; 0; 1)
phương trình tham số của d là ( t là tham số)
d/ Do d (Oxz) nên VTCP của d là =(0; 1; 0)
phương trình tham số của d là ( t là tham số)
e/ Do d (Oyz) nên VTCP của d là = (1; 0; 0)
phương trình tham số của d là ( t là tham số)
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Hướng dẫn: - VTCP của d’ chính là VTCP của d
 đưa bài toán về dạng 1. 
Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’ ( t là tham số)
b/ d đi qua điểm B(4;-2;2) và song song với d’: 
c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với đường thẳng AB trong đó A(5;3;2), B(2;1;-2)
d/ d đi qua điểm P(2; 3; 4) và song song với trục Ox.
Lời giải
a/ Do d // d’ vectơ chỉ phương của d là = (1; 2; -3)
 phương trình tham số của d là: ( t là tham số) 
b/ Do d // d’ Vectơ chỉ phương của d là = (4; 2; 3)
 phương trình tham số của d là: ( t là tham số)
c/ là VTCP của đường thẳng d 
 => phương trình tham số của d là: ( t là tham số)
d/ Do d // trục Ox Vectơ chỉ phương của d là = (1; 0; 0)
 phương trình tham số của d là: ( t là tham số)
Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
Hướng dẫn : - VTCP của d là = [P, Q] (P ;Q lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q))
- Đưa bài toán về dạng 1.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lời giải .
Ta có P = (2; 3; -2); Q=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là = [P, Q] = (-3; - 4; -9).
 Phương trình tham số của d là: ( t là tham số)
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(-2; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = 0 và mặt phẳng (Oxy).
Lời giải .
Ta có VTPT của (P) là : P = (3; 2; -4) và VTPT của (Oxy) là =(0; 0; 1)
Do d //(P) và d//(Oxy) nên VTCP của d là = [P, ] = (2; -3; 0)
 Phương trình tham số của d là: ( t là tham số).
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( d’ không vuông góc với (P))
Hướng dẫn : - Xác định VTPT của (P) và VTCP của d’ lần lượt là P và ’
VTCP của d là = [P, ]=>Đưa bài toán về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với d’: .
b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với d’:(t là tham số)
Lời giải
a/ Ta có : - VTPT của (P) là P = (3; -2; 1)
	 - VTCP của đường thẳng d’ là = (2; 3; 4 )
 Do d//(P) và dd’ VTCP của đường thẳng d là = [P, ] = (-11; -10; 13)
 phương trình tham số của d là: ( t’ là tham số)
b/ Ta có : - VTPT của (Oxz) là = (0; 1; 0)
	 - VTCP của d’ là = (3; -1; 2 )
 Do d//(Oxz) và dd’ VTCP của d là = [, ] = (2; 0; -3)
 Phương trình tham số của d là: ( t’ là tham số)
Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
Hướng dẫn :	 - Xác định VTCP của d1 và d2 lần lượt là và )
- VTCP của d là = [, ] => Đưa bài toán về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(2; -3; 4), vuông góc với d1:( t là tham số ) và d2: 
Lời giải
Ta có : VTCP của d1 là = (-3; 1; 2) và VTCP của d2 là = (2; 5; 3 )
Do d d1 và dd2 VTCP của d là = [, ]= (-7; 13; -17)
 Phương trình tham số của d là: ( t là tham số).
Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 
Hướng dẫn :	
	Cách 1
Viết pt mp(P) thoả mãn đi qua M và chứa d1
Xác định giao điểm C của d2 và mp(P)
+ Nếu không tồn tại giao điểm thì kết luận bài toán vô nghiệm
+ Nếu có vô số giao điểm thì kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong mp(P) đi qua M
+ Nếu có nghiệm duy nhất thì chuyển sang bước tiếp theo
- Viết pt đường thẳng d thoả mãn đi qua M và nhận là VTCP. Chứng tỏ d không song song với d1. Khi đó d chính là đường thẳng cần tìm.
	Cách 2.	
Chuyển pt của d1 và d2 về dạng tham số ( lần lượt theo tham số t và t’)
- Giả sử d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C. Khi đó suy ra toạ độ B và C theo thứ tự thoả mãn các pt tham số của d1 và d2
Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định được toạ độ của B và C
Đường thẳng d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1; 1; 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) : và (d2) :(t, s là tham số )
Lời giải
Cách 1. Gọi (P) là mp chứa A và d1. Khi đó (P) qua A và nhận là VTPT với = 
(trong đó B(1;0;0); (1;-1;0) là VTCP của d1) => (0;0;1)
	=> Phương trình của mp(P) là z = 0
Gọi C là giao điểm của (P) và d2 => C(0;0;0)
 Gọi d là đường thẳng đi qua A và C => d đi qua A và nhận là VTCP
=> d có phương trình: ( t’ là tham số)
Dễ thấy và không cùng phương => d là đường thẳng cần dựng.
Cách 2. Giả sử d là đường thẳng cần dựng và d cắt d1 và d2 theo thứ tự tại B và C. Khi đó:
B => B(1+t ; -t ; 0); C => C(0 ; 0 ; 2+s) 
=> 
Ba điểm A, B, C thẳng hàng ó 
Vậy d là đường thẳng đi qua đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) => d có phương trình : ( t’ là tham số).
Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 
Hướng dẫn :
	- Chuyển phương trình của d2 về dạng tham số
- Giả sử d cắt d2 tại B, khi đó tìm được toạ độ B thoả mãn pt tham số của d2 => toạ độ 
Vì d d1 => giá trị tham số => toạ độ điểm B
Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn đi qua A và nhận là VTCP
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 cho bởi: (d1): và (d2) : (t, u là tham số)
Lời giải
Giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d2 tại B, khi đó B(2u ;1+u ; u) =>(2u ; u ; u-1). Gọi là 1 VTCP của d1 ta có (-1;1;0)
Vì d d1 óu = 0 => (0;0;-1)
Vậy phương trình đường thẳng d là :( t là tham số).
Dạng 10 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d1 
Hướng dẫn :
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d1 => toạ độ H theo tham số t
Do AH d1 ( là VTCP của d1) => giá trị của tham số t => toạ độ H
Vậy d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và H
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), vuông góc với d’ và cắt d’ trong đó d’ có phương trình ( t là tham số).
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d’ => H(t ; 1 - t ; 2t) =>(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
(1; -1; 2) là VTCP của d’
 Do AH d’ ó 6t + 4 = 0 ót = => 
Vậy phương trình của d là : ( u là tham số)
Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
Hướng dẫn : - Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là giao điểm của d1 và d2 với mp(P).
- Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P)
 - Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) : y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1: và d2 : 
 ( t và t’ là tham số)
Lời giải
	Gọi A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2 với (P) => A(1;0;0) và B(5;-2;1)
Khi đó đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận (4;-2;1) là VTCP => Phương trình của d là: ( t là tham số).
Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
Hướng dẫn:
Chuyển pt của hai đường thẳng d1 và d2 về dạng tham số (giả sử theo tham số t và t’)
Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => Toạ độ A và B theo tham số t và t’
Xác định là VTCP của d’
Do d//d’ nên và cùng phương => giá trị của tham số t và t’ => toạ độ 2 điểm A và B
Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với d’ : x - 4 = đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với d1 : 
và d2 : .
Lời giải
d’ có VTCP (1;4;-2), d2 có pt tham số 
Giả sử A và B lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2 => A(t ; -1 + 2t ; t) và B(t’;1- 2t’;1 + 3t’)
=>(t’-t;2-2t’-2t;1+3t’-t)
	Do d // d’ nên và cùng phương óó=> A(2;3;2) 
	Vậy d là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP => d có pt là: ( u : tham số)
Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d2 đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. 
Hướng dẫn :
- VTCP của d là VTCP của d1 hoặc d2
	- Xác định toạ độ điểm Md1, N d2 toạ độ trung điểm I của MN thuộc d.
	- Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận là VTCP
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
d1: ( t là tham số ) và d2: .
Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
Lời giải
Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 chỉ phương của d là = (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) d1 , N(4; -1; 0) d2 toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) d
phương trình tham số của d là ( t là tham số )
Dạng 14 : Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
Hướng dẫn : 
	Cách 1. 
- Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2( Ad1 và Bd2). Khi đó toạ độ A và B thoả mãn phương trình tham số của d1 và d2 =>Toạ độ của 
- Từ điều kiện AB d1 và AB d2 =>Toạ độ A và B
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Cách 2. 
Xác định vectơ và lần lượt là VTCP của hai đường thẳng d1 và d2. Gọi là VTCP của đường thẳng d => 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1 
Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P)
Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP .
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1: và 
d2 :. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2?
Lời giải
Gọi và theo thứ tự là VTCP của d1 và d2 => (2;1;3) và (1;2;3)
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2( Ad1 và Bd2) => A(1+2t;2+t:-3+3t) và 
B(2+u;-3+2u;1+3u) =>(u-2t+1;2u-t-5;3u-3t+4)
Từ điều kiện AB d1 và AB d2 ó 
=> 
Vậy đường thẳng vuông góc chung d là đường đi qua A và nhận là VTCP => d có phương trình là: ( t’ : là tham số)
Dạng 15 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên mặt phẳng (P). 
Hướng dẫn : - Xác định điểm chung của d’ và mp(P)
	 + Nếu d’thì hình chiếu của d’ chính là d’
	 + Nếu d’//(P) thì 
*Xác định A
*Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
*d là đường thẳng đi qua B và //d’ 
	 + Nếu thì:
	 *Xác định A( A không trùng với M)
	 *Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
	 *d là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B
	Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ : trên mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = 0.
Lời giải
	Gọi M = => M()
Ta có  A(2 ; 1 ; 3 )d’ 
Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) => d1 có pt là: (*)
Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên (P) => B = (P) 
Thay (*) vào phương trình mp (P) ta được: 2(2+2u) – 3(1-3u) + 3+u +1 = 0 ó14u = - 5 ó u=
=> B =>
Đường thẳng d cần tìm là đường đi qua C và nhận (11;8;2) là VTCP
 Phương trình tham số của d là : ( t là tham số )
PHẦN IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 1 năm 2007)
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN ( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần 2 năm 2007)
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N.
( Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban lần 2 năm 2007)
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng (): 
x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () 
( Đề thi tốt nghiệp BTTHPT năm 2008)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng () : 
2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với () 
( TNTHPT không phân ban năm 2008)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với ()
 ( Đề thi TN THPT phân ban năm 2008)
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4). Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng 
(P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
Bài 9: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng 
 d1: và d2:
Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – 5 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng d1:	(t R);	d2: (t’ R ).
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 	và d2:(t R). Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 
( Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007).
Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d song song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2. Biết d1: , d2: .
Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 ), vuông góc với đường thẳng d1: và cắt đường thẳng d2: (t R).
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d1: , d2:. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2006).
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: , viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. ( Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004)
Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 
( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009).
Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều d1, d2 và thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2 trong đó d1: ; d2: .
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1: và d2: ( t và t’ là tham số ).
Bài 20: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng (P): 
x + 2y – z +1 = 0 và (Q): - x – y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng
 d1:, d2:.
Bài 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).