Chuyên đề: Phương trình mũ và phương trình lôgarít

 Chuyên đề : Phương trình mũ và phương trình lôgarít
Phương trình mũ.
 I. Các dạng phương trình cơ bản thường gặp
 1. Phương trình dạng a f(x) = b ( 1) ( 0 < a 1 )
 - Nếu b 0 phương trình vô nghiệm
 - Nếu b > 0 (1) f(x) = loga b 
 VD1 : Giải phương trình : 32x -1 = 6 ( 1)
 Giải: (1) 2x -1 = log36
 2x = 1 + log36
 x = 1 +log32
 2. Phương trình dạng af(x) = ag(x) (2) ( 0 < a 1)
 (2) f(x) = g(x) 
 VD2 : GPT = ()x -1 	(1)
 Giải :	( 1) = 5-3x + 3	
 x2 -1 = -3x + 3
 x2 + 3x - 4 = 0 
 3. Phương trình dạng : [ f(x) ]g(x) = [ f(x)]h(x) (3)
 (3) 
VD3 : Giải các phương trình:
 a, xx + 1 = b, = ( x -2)11x - 20
 c, = ( x -3)2 d, (-4x2 + 2x +1)1 -x = 
 4. Phương trình dạng: af(x) = bg(x) (4) ( 0< a, b 1)
 (4) f(x) = g(x)logab
 VD4: GPT = 3x - 1
 II. Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp biến đổi đưa về các PT cơ bản
Bài tập: Giải các phương trình sau
1. 3. 
182x.2-2x.3x+1 = 3x –1 4. 
2.Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.
Bài Tập: Giải các phương trình sau:
1. ( 2 + )x + ( 2 - )x = 4 ( ĐHTH.HCM- 94) 
2. 125x + 50x = 23x + 1 ( ĐHQGB-98)
3. 25x + 10x = 22x + 1 ( HVNH-98)
4. 8x + 18x = 2.27x ( ĐHQG-97)
5. ( 5 - )x + ( 5 + )x = 2x + 3 ( ĐHQG-D-97) 
( 2 + )x + ( 7 + 4).( 2 - )x = 4.( 2 + ) ( ĐHNNHN-98)
 (HVQHQT-D-99)
43 + 2cosx - 7.41 + cosx - 2 = 0
()cosx + ()cosx = 4 (ĐHLuật-99)
 6.4x - 13.6x + 6.9x = 0 (ĐHBD-A-2001)
 32x + 1 = 3x + 2 + 
 (cos72o)x + (cos36o)x = 3.2-x
23x - 6.2x - + = 1 (ĐHYH N-2000)
Cho phương trình : 4x - 4m( 2x -1) = 0 
Giải PT với m = 1.
Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm. (ĐHNN-97)
Cho phương trình: 4x - m.2x + 1 + 2m = 0
Giải PT khi m = 2
Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3
16.(ĐH Ngoại thương-98). Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt:
17.(ĐHNN-2000) . Tìm m để PT sau có hai nghiệm trái dấu:
 (m + 3).16x + ( 2m -1).4x + m + 1 = 0
18.(ĐHĐL-99) . Cho PT: (+ 1)x+ a.( - 1)x = 2x
Giải PT khi a = 
Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm.
19.(ĐHGTVT-95). CMR không có giá trị nào của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4x + (2m +3).2x - 3m + 5 = 0.
20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: . 
3.Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:
Thường được áp dụng đối với PT vừa có ẩn ở hàm số mũ và vừa chứa ẩn ở hệ số 
VD1: Giải PT : 9x + 2(x- 2).3x + 2x - 5 = 0 (1) (ĐH Thương mại- 95)
 Giải : Đặt t = 3x ( t >0) ta được PT : t2 + 2(x - 2).t + 2x - 5 = 0 (2) 
 Coi PT(2) là PT bậc hai ẩn t có = (x -3)2 
Với t = 5 -2x ta có 3x = 5 - 2x (3) .Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x = 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1.
Bài tập: Giải các PT sau:
25x -2.(3 - x).5x + 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT –97)
 4x + (2x - 5).2x + 6x - 24 = 0
4.Phương pháp biến đổi đưa về phương trình tích.
VD: Giải phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x (1) (ĐHQG-D-2000)
Giải: (1) 8(3x - 3) - 2x.(3x - 3) = 0
 (3x - 3).(8 - 2x) = 0
Bài tập: Giải các PT sau:
1. 12.3x + 3.15x - 5x +1 = 20 (ĐH Huế-D-2001)
 2. x2.2x +1 + 2 = x2.2 + 2x – 1
52x +1 + 7x +1 - 175x - 35 = 0
5.Các phương pháp không mẫu mực
Sử dụng 2 phương pháp chính sau:
 +) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
 +) Đánh giá cả hai vế
Ta sử dụng các kết quả sau:
 Xét PT f(x) = a (1) có tập xác định là D ( a là hằng số). Nếu trên D mà f(x) đơn điệu thì nếu (1) có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất .
 Xét PT f(x) = g(x) (2) có tập xác định là D. Nếu f(x) và g(x) có tính 
đơn điệu ngược nhau ở trên D thì PT(2) nếu có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất trên D.
Bài tập: Giải các phương trình sau:
3x = -x + 4 
2x = 1 + ( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95)
()x + ()x = ()x (HVQHQT-97)
3x + 4x = 5x 
2x + 2-x +2 = 4x -x2
4sinx - 21 + sinx.cos(xy) + = 0
B: Phương trình lôgarit.
Các phương trình cơ bản
1. Phương trình dạng : logaf(x) = b (1) 
 f(x) = ab
2. Phương trình dạng : logaf(x) = logag(x) ( 2) (0< a 1)
 (2) hoặc 
3.Phương trình dạng: logf(x)g(x) = logf(x)h(x) (3)
 (3) hoặc 
4.Phương trình dạng: logaf(x) = logbg(x) (0 < a)
Cách giải: Đặt t = logaf(x) phương trình ẩn t
Bài tập : Giải các phương trình sau:
log3(x2 + 4x + 3) = 1
log3( x2 - 5x +6) - log3(x - 3) = 0
log3(3x - 8) = 2 - x
log2(152 + x3 ) = 3log2( x + 2)
log2x - 1 = 1
logx +1(x2 + x - 6)2 = 4
logx + 3 = 
log2( 1 + ) = log3x
log2(1 + ) = log7x
II. Các phương pháp giải PT lôgarit.
Phương pháp đặt ẩn phụ.
VD: Giải phương trình: log2(4x + 1 + 4).log2(4x + 1) = (1 
Giải: (1) log24(4x + 1) . log2(4x + 1) = 3
 [ 2 + log2(4x + 1) ].log2(4x + 1) = 3
 Đặt t = log2(4x + 1), ta có PT: (t + 2).t = 3
 t2 + 2t - 3 = 0 
 - Với t = 1 log2(4x + 1 ) = 1
 4x + 1 = 2
 4x = 1 
 - Với t = -3 log2(4x + 1) = -3
 4x + 1 = (vô nghiệm)
Phương pháp lôgarit hoá.
VD: Giải các phương trình sau:
1. = 
2. xlgx = 1000x2 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. 
VD: Giải các phương trình sau:
(x + 2) 
4 .Phương pháp không mẫu mực.
 VD: Giải các phương trình sau:
log2(2 - x2) + log3(3 - x2) + log4(4 - x2) = x2 - 4x +7 
22x +1 + 23 - 2x = 
log3(x2 + x +1) - log3x = 2x - x2 
4. lg(x2 - x - 12) + x = lg(x + 3) + 5 
Bài tập tổng hợp 
Giải các phương trình sau:
1. log5x + log3x = log53.log9225 (ĐHYHN-1999)
2. 2lg(x - 1) = .lgx5 - lg (ĐH-1970)
3. 2 (ĐHXD –1998)
4. logx +3(3 - ) = ( ĐHQG-96)
5. log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23 (ĐHQG-A-98)
6. log5(5x -1).log25(5x + 1 - 5) = 1 ( ĐHSP Hà Nội 2 -98)
7. loga(ax).logx(ax) = (ĐHSP Vinh-98)
8. log4(x + 1)2 + 2 = + log8(4 + x)3 (ĐHBK-2000)
log2(x2 - x + 1) + log2(x2 + x + 1) = log2(x4 + x2 + 1) + log2(x4 - x2 + 1)
 (HVQHQT-D-2000)
10. lg4(x - 1)2 + lg2(x - 1)3 = 25 (ĐH Y Hà Nội –2000)
11. log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (ĐH Ngoại Ngữ-2000)
log27(x2 - 5x + 6)3 = + log9(x - 3)2 (HVCTQG-2001)
(ĐHTS-2001)
 log2(log3x) = log3(log2x) (ĐH Ngoại Thương HN-95)
log2(x - ).log3(x + ) = log6(x - ) (HVKT MậtMã-99)
log5x = log7(x + 2) (ĐHQGHN-B-2000)
log7x = log3( + 2 ) (ĐH Kiến Trúc – 2000)
 log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x (HVNH-2001)
log2(3x - 1) + = 2 + log2(x + 1) (ĐHAN –2001)
 (HVCNBCVT-99)
 log3x + 7(9 + 12x + 4x2) + log2x + 3(6x2 + 23x + 21) = 4 ( ĐHKTQD-2001)
 log4(x - ).log5(x + ) = log20(x - ) (ĐHSP Vinh-2001) 
 logx(x + 1) - lg4,5 = 0 (ĐHNT-94)
 (ĐHCS –2001)
 (ĐH Nông nghiệp HN-2001)
 x. ( ĐHQG-B-96)
2 (ĐHTHHN-94)
 28 . x + (ĐHNT-96)
29. (ĐH Bách khoa Hà Nội-99)
30. = log2x (ĐHTL-99)
31. log2(4x + 4) = x - (2x + 1- 3 ) (ĐHCĐ-2001)
32. log2(3.2x - 1) = 2x + 1 (ĐHĐN-97)
33. ( ĐHHP-2001)
34. (ĐHQG-A-2000)
Tìm tích các nghiệm của PT:
 (ĐH Mỏ-ĐC-2001)
36. log3(x2 + x + 1) - log3x = 2x - x2 (ĐHNT-D-2000)
 3.log3(1 + ) = 2log2
C: Bất phương trình mũ. 
I: Các bất phương trình mũ cơ bản.
1) Bất phương trình dạng af(x) > ag(x) (1) ( 0 < a 1)
Nếu a > 1 thì (1) f(x) > g(x)
Nếu 0 < a 1 thì (1) f(x) < g(x) 
2) Bất phương trình dạng af(x) > b (2) ( 0 < a 1)
Nếu b 0 thì bất phương trình có tập nghiệm là tập xác định của f(x)
Nếu thì (2) f(x) > logab
Nếu thì (2) f(x) < logab
II: Bài tập.
 Giải các bất phương trình sau:
1. (ĐHNT-95)
2. 2.2x +3.3x > 6x – 1 (ĐH Y Hà Nội-99)
3. 2.14x + 3.49x - 4x 0 (ĐHGTVT-96)
4. ( ĐHKT-96)
5. 2x + 2x +1 3x + 3x-1 (ĐHQG-96)
6. (ĐHVH-96)
7. (ĐHBK Hà Nội – 97)
8. 3x + 1 – 22x + 1 - < 0 (HVCNBCVT-98)
9. (ĐHSP – 2000)
10. (HVHCQG-2001)
11. 
12. ( + 2)x-1 
D: Bất phương trình lôgarit.
Các bất phương trình cơ bản
1) Bất phương trình dạng