Chuyên đề: Phương trình tiếp tuyến

Chuyên đề: Phương trình tiếp tuyếnPhương trình tiếp tuyếnNội dungNội dungDạng 1: Tiếp tuyến qua một điểmDạng 2: Số tiếp tuyến qua một điểmDạng 3: Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thịDạng 1Tiếp tuyến qua một điểmBài tập mẫu	Cho hàm số y = x3 – 2x2 + 5x - 1. Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm M(1;3).	Giải	Phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + 3, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 	thay (2) vào (1), ta được x3 – 2x2 + 5x – 1 = (3x2 – 4x + 5)(x - 1) + 3 	Rút gọn phương trình 	Với x = 1: (2) => a = 4 , ta được phương trình tiếp tuyến y = 4x -1.	Với , ta được phương trình tiếp tuyến Dạng 1.Tiếp tuyến qua một điểmLưu ý	Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm M(x0 ;y0) với đồ thị hàm số y = f(x). 	Cách giải Phương trình đường thẳng qua M(x0 ; y0) có dạng y = a(x – x0) + y0, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: Giải hệ trên, ta tìm được a, suy ra phương trình tiếp tuyến.Dạng 1.Tiếp tuyến qua một điểmBài tập tương tự. 	Cho hàm số , chứng minh rằng qua điểm M(-1 ;3) có hai 	tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau.	Giải	Phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x + 1) + 3, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 	thay (2) vào (1), ta được 	Rút gọn phương trình 	(x2 + x - 1)(x - 1) = (x2 – 2x) (x + 1)+ 3(x - 1)2 x2 – 3x + 1 = 0 	Dạng 1.Tiếp tuyến qua một điểmBài tập tương tự (tt)	Dễ thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 	Vậy qua M có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.Dạng 1.Tiếp tuyến qua một điểmDạng 2Số tiếp tuyến qua một điểmBài tập mẫu	Cho hàm số y = x3 - 3x2 + x + 2, chứng minh rằng từ mỗi điểm trên đường thẳng x = 1, ta kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị.	Giải 	Giả sử M(1;m) thuộc đường thẳng x = 1, phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x - 1) + m, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 	Thay (2) vào (1), ta được	x3 – 3x2 + x + 2 = (3x2 – 6x + 1)(x - 1) + m	 f(x) = 2x3 – 6x2 + 6x – 3 + m = 0	f ’(x) = 6x2 – 12x + 6 = 6(x - 1)2  0  x	Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R, f(x) là hàm số bậc 3 luôn đồng biến nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm với mọi m.	Vậy qua điểm M(1;m), ta luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị. Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một điểmLưu ý bài toán:	Bài toán: Biện luận số tiếp tuyến qua điểm M(x0 ;y0) với đồ thị hàm số y = f(x) cho trước. 	 Cách giảiPhương trình đường thẳng qua M(x0 ;y0) có dạng y = a(x - xo) + yo, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: Bài toán quy về biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên.Dạng 2. Số tiếp tuyến qua một điểm Bài tập tương tựCho hàm số y = x3 – 3x2 + 1. Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà qua đó ta kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị.Giải Giả sử điểm M(0;m) thuộc trục tung, phương trình đường thẳng qua M có dạng y = ax + m, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: thay (2) vào (1), ta được x3 – 3x2 + 1 = (3x2 – 6x)x + m f(x) = - 2x3 + 3x2 + 1= mf ’(x) = - 6x2 + 6x; f ’(x) = 0  x = 0; x = 1Hàm số f(x) có cực tiểu tại (0; 1), cực đại tại (1; 2). Căn cứ biến thiên của hàm số suy ra qua M có 3 tiếp tuyến khi phương trình f(x) = m có 3 nghiệm, điều đó xảy ra khi: 1 miny’ = 2 khi x = 1 	Do đó hệ số góc của tiếp tuyến có giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị đó đạt được khi x =1.	Mặt khác, ta có 	y’’ = 6x – 6, y’’ = 6x – 6 = 0  x = 1.	y’’ 0  x > 1. 	Do đó đồ thị có điểm uốn tại x = 1, y = 2.	Từ các kết quả trên, ta có trong các tiếp tuyến với đồ thị thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.	Phương trình tiếp tuyến là y = 2(x - 1) + 2 y = 2x Dạng 3. Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thịBài tập mẫu (tt)	Giả sử điểm M(x0 ;y0) thuộc đồ thị, phương trình tiếp tuyến tại M là 	Tiếp tuyến qua điểm uốn (1;2) khi 	Do đó tiếp tuyến tại điểm M(x0 ;y0) đi qua điểm uốn khi và chỉ khi x0 = 1.	Vậy: 	- Trong các tiếp tuyến với đồ thị thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số 	góc nhỏ nhất, phương trình tiếp tuyến là y = 2x.	- Tất cả các tiếp tuyến còn lại đều không đi qua điểm uốn.Dạng 3. Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thịLưu ý	Với hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có y’ = 3ax2 + 2bx + c.	Nếu a dương: trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.	Nếu a âm : trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.	Qua điểm uốn chỉ có một tiếp tuyến là tiếp tuyến tại điểm uốn, tất cả các tiếp tuyến còn lại đều không đi qua điểm uốn.	Qua mỗi điểm còn lại trên đồ thị đều có hai tiếp tuyến.Dạng 3. Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thịBài tập tương tự	Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 5x – 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho qua M có một tiếp tuyến.	Giải	Giả sử điểm M(x0 ;y0) thuộc đồ thị phương trình đường thẳng qua M có dạng y = a(x - xo) + yo, đường thẳng là tiếp tuyến khi hệ phương trình sau có nghiệm: 	thay (2) vào (1), ta được	Dạng 3. Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thịQua M có một tiếp tuyến khi Đáp số: M(1;2)Dạng 3. Tiếp tuyến qua điểm uốn của đồ thị