Chuyên đề Số phức - Đại số tổ hợp

Chuyên đề
SỐ PHỨC-ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ)
II. Dạng lượng giác của số phức
 (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b Î R, z ¹ 0) 
* là môđun của z.
* j là một acgumen của z thỏa 
Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu , thì:
* 	* 
Công thức Moivre: thì 
Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức (r > 0) là và 
BÀI TẬP
(ĐH_Khối A 2009)
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức .
ĐS: A=20
Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
ĐS: A=11/4
(CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2-i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b. Giải phương trình sau trên tập số phức: .
ĐS: a. a=2, b=-3
b. z=1+2i, z=3+i
Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS: .
 (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn và .
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
Tìm số phức z thỏa mãn: .
HD: Gọi z=x+yi; (1)Þx=y, (2)Þy=1.
ĐS: z=1+i.
Giải phương trình: .
ĐS: zÎ{0;1;-1}
Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z.
ĐS: zÎ{0;i;-i}
Giải phương trình: .
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình Þ x, y Þ z.
ĐS: z=0, z=-1, 
Giải phương trình: .
HD: Chia hai vế phương trình cho z2.
ĐS: z=1±i, .
Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:.
Cho phương trình: (z + i)(z2-2mz+m2-2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức.	b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.	c. Có ba nghiệm phức.
Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận a làm nghiệm biết:
a. a = 2-5i	b. a = -2-i	c. a = 
Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z3-iz2-2iz-2 = 0.	b. z3+(i-3)z2+(4-4i)z-7+4i = 0.
(ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện .
ĐS: (x-3)2+(y+4)2=4
Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: .
ĐS: .
Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD:	*Gọi z=x+yi. Þ  Þ.
* Vẽ hình Þ|z|min Þz.
ĐS: .
Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a. .	b. .
HD: Sử dụng công thức Moivre.
ĐS: a. Phần thực , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+  + (1+i)20.
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực -210, phần ảo: 210+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
LÝ THUYẾT
Giai thừa: n!= n.(n-1)!=n.(n-1).(n-2).  .3.2.1,	n≥0.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ,	n≥k>0.
Số tổ hợp chập k của n phần tử: ,	n≥k≥0.
Quy ước n!=0!=1.
Nhị thức Newton .
Công thức số hạng tổng quát: ,	0≤k≤n.
BÀI TẬP
(CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của , (x>0).
ĐS: 6528 
(ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của với x>0.
ĐS: 35
(ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương, x>0, ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
(ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức , biết rằng (n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS: 
 (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng , (n nguyên dương và là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
 (ĐH_Khối D 2008)
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức . ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=6
(ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1-2x)5+x2(1+3x)10.
ĐS: 3320 
(ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3=26n.
ĐS: n=5 
(ĐH_Khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho .
ĐS: n=5
(ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k≤n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết:
3nCn0-3n-1Cn1+3n-2Cn2-3n-3Cn3+  +(-1)nCnn=2048 (n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 22 
 (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm kÎ{1,2,,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
(ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 
 (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2An, tìm n.
ĐS: n=8
(ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+  +anxn, trong đó nÎN* và các hệ số a0, a1,an thỏa mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an.
ĐS: a8=126720 
 (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
(ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho , ( là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
 (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1-x)]8.
ĐS: 238
(ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
ĐS: n=7, x=4
Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n.
b. Tính các tổng S1=1-Cn2+Cn4-Cn6+	S2=Cn1-Cn3+Cn5-
Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+  –C10098+C100100=–250.
-o0o-