Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ 
NĂM HỌC 2017-2018 
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) 
Câu 1: Cho phương trình 2 4 0.x mx   Tập hợp các giá trị của tham số m để 
phương trình có nghiệm kép là 
A.  4; 4 . B.  4 . C.  4 . D.  16 . 
Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương 
trình 5y x  và 5y x  bằng 
A. o70 . B. o30 . C. o90 . D. o45 . 
Câu 3: Cho 
 3 10 6 3 3 1
.
6 2 5 5
x
 

 
 Giá trị của biểu thức  
2018
3 4 2x x  bằng 
A. 20182 . B. 20182 . C. 0. D. 1. 
Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm (2018; 1)A  và ( 2018;1).B  
Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là 
A. .
2018
x
y   B. .
2018
x
y  C. 2018 .y x D. 2018 .y x  
Câu 5: Cho biểu thức 2 8 4 2 8 4 ,P x x x x      khẳng định nào dưới đây 
đúng ? 
A. 2P   với mọi 
1
2
x  . B. 2P   với mọi 1x  . 
C. 2 2 1P x   với mọi 1.x  D. 2 2 1P x   với mọi 
1
1.
2
x  
Câu 6: Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm ,M biết 
rằng M cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng 2 .y x  Hoành độ của 
điểm M bằng 
A. 2 2. B. 2 2. C. 
1
.
2
 D. 2. 
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm  2018;2018M đến 
đường thẳng 2y x  bằng 
A. 2. B. 2. C. 4. D. 1. 
Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 
2
10 .
3
A m;m-
 
 
 
 Khi m thay đổi thì 
khẳng định nào dưới đây đúng ? 
A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố 
định. 
B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định. 
C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định. D. Điểm A thuộc đường thẳng 10y x .  
Câu 9: Cho tam giác ABC có 3 , 4 AB cm AC cm  và 5 .BC cm Kẻ đường cao 
,AH gọi , I K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác 
.HAC Độ dài của đoạn thẳng KI bằng 
A. 1,4 .cm B. 2 2 .cm C. 1,45 .cm D. 2 .cm 
Câu 10: Cho AB là một dây cung của đường tròn  ; 1 O cm và o150 .AOB  Độ 
dài của đoạn thẳng AB bằng 
A. 2 .cm B. 2 .3 cm C. 1 .5 cm D. 2 .3 cm 
Câu 11: Cho hai đường tròn  ;I 3 và  ;6O tiếp xúc ngoài với nhau tại .A Qua 
A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và .C Diện tích 
lớn nhất của tam giác ABC bằng 
A. 6. B. 12. C. 18. D. 20. 
Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Gọi ,x y lần lượt là bán kính 
đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác .ABD Giá trị của biểu thức 
2 2
1 1
x y
 bằng 
A. 4. B. 2. C. 
3
.
2
 D. 
1
.
4
Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  ; O R đường kính AC và dây 
cung 2.BD R Gọi , , , x y z t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới 
, , , .AB CD BC DA Giá trị của biểu thức xy zt bằng 
A. 22 2 .R
B. 22 .R C. 2
2
.
2
R
D. 2
2
.
4
R 
Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ( );2 I cm và nội tiếp đường 
tròn  .;6 O cm Tổng khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC 
bằng 
A. 8 .cm B. 12 .cm C. 16 .cm D. 32 .cm 
Câu 15: Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15,20 thì bán kính 
đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng 
A. 5. B. 4. C. 3. D.6 . 
Câu 16: Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào 
một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an 
toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để rào. Trên khu 
đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn 
(tham khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. 
Hỏi mảnh đất để trồng rau an toàn có diện tích lớn 
nhất bằng bao nhiêu ? 
A. 2400 .m B. 2450 .m C. 2225 .m D. 2550 .m 
B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) 
Câu 17: (3,0 điểm). 
a) Cho    2 2 2018a b c b c a    với , ,a b c đôi một khác nhau và khác 
không. Tính giá trị của biểu thức  2 .c a b 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương , ,a b c thỏa mãn 91a b c   và 2 .b ca 
Câu 18: (3,5 điểm). 
a) Giải phương trình 2 22 2 2 0.x x x x     
 b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m 
và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng 
cách từ ,A B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 
487 m (tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ 
A đến bờ sông để lấy nước mang về .B Đoạn 
đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được 
bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét). 
Câu 19: (4,0 điểm). 
Cho đường tròn  O và điểm A nằm ngoài  .O Qua A kẻ hai tiếp tuyến 
,AB AC với  O ( ,B C là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt  O tại 
D và ( ).E AD AE Tiếp tuyến của  O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
ABOC tại các điểm M và .N 
 a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng .AD Chứng minh rằng bốn điểm 
, , ,M E N I cùng thuộc một đường tròn  .T 
 b) Chứng minh rằng hai đường tròn  O và  T tiếp xúc nhau. 
 c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định. 
Câu 20: (1,5 điểm). 
Chứng minh rằng   2 2 2
3 3 3
9
a b b c c a
a b c
a ab b bc c ca
   
        
 với , ,a b c là độ 
dài ba cạnh của một tam giác. 
----------------- HẾT ------------------ 
LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ 
NĂM HỌC 2017-2018 
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) 
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 
 A C B C B,D A,B B A 
Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 
 D B C A C A A B 
B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) 
Câu 17: a) Ta có    
 
2 2 1 .
a b a b
a b c b c a
bc ab ab ca c b a c

       
  
Suy ra    20 2018.(1)ab bc ca bc a b c abc a b c          
   20 .(2)ab bc ca ab c a b abc c a b         
Từ (1) và (2) ta được  2 2018.c a b 
b)
Đặt  2; 1b qa c q a q   thì ta được  2a 1 91 13.7.q q   
Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được 
2
1 1
1; 9; 81.
91 91
a a
a b c
qq q
  
     
    
2
7 7
7; 21; 63.
31 13
a a
a b c
qq q
  
     
   
2
13 13
13; 26; 52.
21 7
a a
a b c
qq q
  
     
    
Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử  3; 2 .
x
q x y
y
   
Khi đó    2 2 2 2a 1 91 91q q a x xy y y        2 2 19x xy y  
Ta có 
2
2 2 2
2 2
91 6; 5.
ax a
c a ty x xy y x y
y y
             
và 25; 30; 36.a b c   
Vậy có 8 bộ số  ; ;a b c thỏa mãn        1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ;...
Câu 18: a)  2 2 2 22 2 2 0 2 2 2 2 2 0.x x x x x x x x            
22
2 2 1( )
2 2 2
x x L
x x
    

   
2 22 2 4 2 2 0x x x x       
1 3
.
1 3
x
x
   
 
  
b) Gọi ,C D lần lượt là hình chiếu của ,A B lên bờ sông. Đặt  0 492CE x x  
Ta có  
22615 487 118 492.CD    
Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB 
 
22 2 2118 492 487x x    
Ta có với mọi , , ,a b c d thì    
2 22 2 2 2 (1).a b c d a c b d      
Thật vậy         2 22 2 2 2 2 2 2 221 a b c d a b c d a c b d           
  2 2 2 2 (2)a b c d ac bd    
Nếu 0ac bd  thì (2) luôn đúng. Nếu 0ac bd  bình phương hai vế ta được 
(2) trở thành  
2
0.ad bc  Dấu đẳng thức sảy ra khi .ad bc 
Áp dụng (1) thì    
2 2
492 487 118 608089 779,8AE EB x x m        
Dấu đẳng thức xảy ra khi  487 118 492 96x x x m    
Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m 
Câu 19: 
 a) Ta có 180oABO ACO  nên tứ giác ABON nội tiếp 
Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn  .ABOC Suy ra DMA đồng dạng 
DNJ 
Suy ra . .DM DN DA DJ 
Mà 
1
2 ; .
2
DA DI DJ DE  
Nên . .DM DN DI DE  DMI đồng dạng DEN 
Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm. 
b) Dễ thấy khi MN OA thì  O và  T tiếp xúc nhau tại .E 
Khi MN không vuông góc .OA Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của 
 O tại .E 
Ta có , ,O J K thẳng hàng 
Trong tam giác 2: . (1)OEK KJ KO KE ( Định lý hình chiếu) 
Trên đường tròn  ABOC ta có . . (2).KJ KO KN KM 
Từ (1) và (2) suy ra 2 .KE KN KM nên KE tiếp xúc  T
c)
Ta có OED ODE TIE 
Nên / / .IT OD Gọi W .OA IT 
Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm)
Khi MN OA thì W IT. 
Câu 20: Giả sử a b c t   và đặt ; ; 1.a tx b ty c tz x y z       
Ta chứng minh  
 
 
 
 
 
 2 2 2 2 2 2
3 3 3
9
t x y t y z t z x
t x y z
t x xy t y yz t z zx
   
     
    
2 2 2
3 3 3
9.
x y y z z x
x xy y yz z zx
  
   
   
 
 
 
 
 
 
4 4 4 4 1 4 1 4 1
9 9
1 1 1
x x y y y z z z x
x x y y y z z z x z x x y y z
     
          
     
2 2 2
5 1 5 1 5 1
9
x y y
x x y y z z
  
   
   
Vì , ,a b c là ba cạnh của một tam giác nên
1
, , 0; .
2
a b c x y z
 
    
  
Ta có: 
   
2
2
5 1
18 3 3 1 2 1 0
x
x x x
x x

     

 đúng 
1
0;
2
x
 
  
 
   
2
2
5 1
18 3 3 1 2 1 0
y
y y y
y y

     

 đúng 
1
0;
2
y
 
  
 
   
2
2
5 1
18 3 3 1 2 1 0
z
z z z
z z

     

 đúng 
1
0;
2
z
 
  
 
Suy ra  2 2 2
5 1 5 1 5 1
18 9
x y y
x y z
x x y y z z
  
      
   2 2 2
5 1 5 1 5 1
9
x y y
x x y y z z
  
   
  