Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán (Đề 1) - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012- 2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (4,0 điểm)
1. Cho a = và b = 
 Chứng minh rằng a + b và a.b là một số tự nhiên.
2. Tính giá trị của biểu thức:
A = 
Câu II ( 5,0 điểm)
1. Cho hàm số .
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
b) Tìm giá trị của x để .
c) Chứng minh hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
2. Cho biểu thức Q = với 
 	a) Rút gọn Q.
b) Chứng minh Q > - 3 với mọi x thuộc tập xác định.
Câu III (4,0 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Câu IV (6,0 điểm) 
1. Cho tam giác nhọn ABC , BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn (O) ( F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO; K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O). 
a) Chứng minh rằng AO.AB = AF.AD.
 b) Chứng minh .
 c) Kẻ OM vuông góc với BC( M thuộc đoạn AD). Chứng minh rằng .
Câu V (1,0 điểm) 
Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.Hết.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2012- 2013
Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương.
Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm.
Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I (2,0đ)
1
 (2,0 điểm)
 = 
0,5
 = 
0,5
+ = 4 là một số tự nhiên
0,5
. = = 1 là một số tự nhiên
0,5
2
( 2,0 điểm)
A = = 
0,25
== = 
0,5
== 
0,5
== = 1
0,75
Câu II
1 
(3,0đ)
a) Hàm số xác định 3x + 2 0 x 
0,5
b) 3x + 2 = 4 3x = 2 x = 
0,5
x = thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy với x = thì f(x) = 2
0,5
c) Với Ta có: 
0,5
= 
0,5
Vì nên do đó > 0
0,25
 nên hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó.
0,25
Câu II
2 (2,0đ)
a) Q = 
0,25
= = = 
0,75
b) Xét hiệu Q – (-3) = Q + 3 = tức là Q > -3 Với (1)
1,0
Câu III (4,0đ)
 (1)
1
 (2,0 điểm)
(1) (2)
0,25
đặt 
0,25
(2) trở thành: (t+1)(t-4) = 0 
0,5
t = - 1 (loại), t = 4 ta được 
0,5
(x - 2)(x + 7) = 0 
0,25
 Vậy pt có nghiệm là x = 2 hoặc x = -7
0,25
2
( 2,0 điểm)
 (1)
Gọi a, b là một nghiệm của phương trình (1), ta có a2 – 2b2 = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Suy ra () là một nghiệm của pt (1)
0,25
 phương trình có nghiệm (a; b) thì có nghiệm tổng quát dạng 
0,25
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của PT là (3;2)
0,25
KL: pt có vô số nghiệm nguyên dương thoả mãn () với (a,b) nhỏ nhất là (3;2).
0,25
Nếu HS giải và tìm được nghiệm nguyên dương nhỏ nất là (3;2) thì cho 1,0 điểm
Câu IV (3,0đ)
1
( 1,5 điểm)
Vẽ đường cao CH của , Vì vuông tại H, nên ta có AH = AC.CosA
0,25
Theo Pitago ta có 
0,25
 vuông tại H, nên Theo Pitago ta có 
0,25
= 
0,5
= . Vậy 
0,25
2
 (4,5 điểm)
a) Vì AF, BD là tiếp tuyến của (O) nên 
0, 5
0, 5
Suy ra 
0,5
b) DB = DF( t/c 2 tt cắt nhau), và OB = OF = bán kính, nên OD là trung trực của BF
ODBF
0,25
BKC có BC là đường kính của (O) nên BK KC
0,25
Áp dụng hệ thức lượng vào DBO, đường cao BH ta có: DB2 = DH.DO (1)
0,25
Áp dụng hệ thức lượng vào DBC, đường cao BK ta có: DB2 = DK.DC (2)
0,25
Từ (1) và (2) DH.DO = DK.DC
0,25
Xét DHK và DCO có chung, do đó DHK DCO (c.g.c)
0,25
c) Ta có OM//DB ( vì cùng vuông góc với BC) nên (so le trong)
0,25
(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) cân tại M
 MD = MO
0,5
ADB có OM//DB nên theo định lý Ta-lét ta có 
0,25
0,5
Câu V
(1,0đ)
Chứng minh được BĐT phụ: Với hai số thực dương x và y ta có 
Dấu bằng xảy ra khi x = y (1)
0,25
Áp dụng (1) ta có: 
0,5
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1. Vậy MinA = 2 
0.25
Chú ý: HS có thể áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy để làm.