Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 9 môn Toán - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT huyện Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang
Câu 1 (3 điểm). 
 Rút gọn biểu thức: 
Cho biết a = và b = . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab
Rút gọn biểu thức : 
Câu 2 (4 điểm). 
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
So sánh 
Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: n(n+3) 
Câu 3 (4 điểm).
 1. Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x.
a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên.
b. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB
 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x + 5y = 345
Câu 4 (3,5 điểm). Cho biểu thức P = (với x³0; x¹ 9)
Rút gọn biểu thức P
Tính giá trị của P tại x = 14 - 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: MA2 = MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
Câu 6 (1,5 điểm). Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
 , 
..............................&.....................................
PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN
HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(3.0 điểm)
a. (1.0 điểm)
0.5
0.5
b. (1. điểm)
Ta có: a + b = () + () = 4
 a.b = ()( = 1. Suy ra P = 3.
0.5
0.5
c. (1. điểm)
1
2
(4.0 điểm)
a. (1.5 điểm)
0.5
0.75
0.25
b. (1.0 điểm)
0.75
Vậy hai số này bằng nhau
0.25
c. (1.5 điểm)
Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 (2n + 3)- 4a2 = 9(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)= 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 
 2n + 3 + 2a = 9 n = 1
 và 2n + 3 – 2a = 1 a = 2
0.75
0.25
0.5
3
(4,0 điểm)
1. (2.5 điểm)
a. To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng th¼ng lµ nghiÖm cña hÖ:
To¹ ®é ®iÓm M(-1; 4)
0.75
0.25
 b. VÏ hai ®­êng th¼ng 2x-y=-6 vµ x+y=3 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é
M
A
H
B
-1
-2
-3
1
2
3
1
2
3
4
O
(®¬n vÞ dµi)
 (®¬n vÞ dµi)
(®¬n vÞ diÖn tÝch)
0.5
0.5
0.5
2. (1.5 điểm)
Ta có 3x2 = -5y2 + 345
 3x2 = 5(69 – y2)
Ta thấy vế phải chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5	 
chia hết cho 5 => x2 chia hết cho 5 => x chia hết cho 5
Mà x10 nên x= 5 hoặc x= 10
* Nếu x = 5 ta có 3. 52 = -5y2+345
ó 5y2 = 270
=>y = không thỏa mãn 	 * Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 
5y2 = 45 => y = 3 thỏa mãn	 
Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình
0. 5
0. 5
0. 5
4
(3.5 điểm)
a) P = 
	= 
	= 
	= = = 
 0,5
0,5
 0,5
b) x = 14 - 6 = ()2 - 2.3. + 9 = ( - 3)2 Þ = 3 - 
Khi ®ã P = = = 
0,5
 0,5
c) P = 
( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d­¬ng )
DÊu"=" x¶y ra Û Û x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn)
VËy min P = 4, ®¹t ®­îc khi x = 4.
0,5
0,5
5
(4.0 điểm)
a) (1,5 điểm)
 vì C (O;)
(1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). 
Suy ra OM là đường trung trực của AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
0.5
 0,5
 0,5
b) (1.0 điểm)
Xét ∆MAB vuông tại A có ADMB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
1
c) (1.5 điểm)
Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có vì C (O;)
, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5). 
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (6) với I là giao điểm của CH và MB.
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
0.5
0,5 
0,5
6
(1.5 điểm)
1. (1.5 điểm)
 Giả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng các vế ta được 
 (1) 0,25đ
 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) 0,25đ
 	Từ (1) và (2) hay (vô lý) 0,5đ
 	Vậy trong 2 bất đẳng thức và có ít nhất một các bất đẳng thức sai 0,5đ
Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------