Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi dự thi quốc gia THPT môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GDĐT NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
THAM DỰ KỲ THI HSG QUỐC GIA
NĂM HỌC 2020 – 2021; MÔN: TOÁN HỌC
Ngày thi: 28/10/2020
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên tố sao cho là một số chính phương.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho dãy số và .
1. Tìm giới hạn của dãy số .
2. Xét dãy số , . Chứng minh .
Câu 4 (6,0 điểm). Cho đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại điểm cho trước. Một điểm di dộng trên , tiếp tuyến của tại cắt tại . Gọi là đường tròn tâm đi qua và tiếp xúc với tại và là điểm đối xứng với qua .
	1. Chứng minh và tiếp xúc với một đường tròn cố định.
	2. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn khi di động trên .
Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt và đường thẳng phân biệt. Gọi là số bộ sao cho với là một trong các điểm đã cho và là một trong các đường đã cho.
1. Tìm giá trị lớn nhất của với và .
2. Với và , chứng minh .
---------- HẾT ----------
Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: .....................................................
Giám thị coi thi số 1: ......................................... Giám thị coi thi số 2: ........................................