Đề thi chọn đội tuyển chính thức tham dự kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2014 môn Toán - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

UBND TỈNH NINH BÌNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
THAM DỰ KÌ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2014
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 31/10/2013
 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4 điểm).
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 2 (4 điểm).
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn
.
Câu 3 (4 điểm).
Mỗi thành viên tham gia đại hội cổ đông của công ty S có nhiều nhất 3 người bất đồng chính kiến với mình. Chứng minh rằng ta có thể chia các thành viên tham gia đại hội thành hai nhóm sao cho trong mỗi nhóm, mỗi thành viên chỉ có nhiều nhất một người bất đồng chính kiến với mình.
Câu 4 (4 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Đường phân giác trong góc BAC cắt cạnh BC tại P và đường tròn (O) tại M, đường phân giác trong góc ABC cắt cạnh AC tại Q. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ, đường thẳng đối xứng với BI qua BQ, đường thẳng đối xứng với CI qua đường phân giác trong góc ACB, và cắt nhau tại J. Điểm E thuộc tia đối của tia BA sao cho BE = BC. Chứng minh rằng A, J và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEM thẳng hàng.
Câu 5 (4 điểm).
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương r nhỏ hơn 59 đều tồn tại duy nhất số nguyên dương n nhỏ hơn 59 sao cho chia hết cho 59.
-----HẾT-----
Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh .....................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................