Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 21-12-2015) - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

 Câu 1 (3,0 điểm). 
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 24 8 38 6x x y   
 b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố. 
Câu 2 (4,0 điểm). 
 a) Cho   2 22015 2015 2015x x y y     . 
Hãy tính giá trị của biểu thức 2016.A x y   
 b) Chứng minh rằng: Nếu 
333 czbyax  và 
1 1 1
1
x y z
   thì 
3333 222 cbaczbyax  . 
Câu 3 (4,0 điểm). 
 a) Giải phương trình:  2 44 4 2 11 4 x x x    
 b) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
( ) 4 1 0
( ) 2 7 2
x x y y y
y x y x y
     

   
Câu 4 (7,0 điểm). 
Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động 
trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, 
BE, CF cắt nhau tại H. 
 a) Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và 2os .AEF
ABC
S
c A
S
 
 b) Chứng minh rằng:  2 2 21 cos cos cos .DEF ABCS A B C S    
 c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá 
trị lớn nhất. 
Câu 5 (2,0điểm). 
Cho a, b ,c ố thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a
P .
2abc c ab a bc b ca
    
   
  
-------HẾT------- 
Họ và tên thí sinh:, SBD: 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
 Ề I C Ọ ỘI UYỂ ỌC SI IỎI 
 ĂM ỌC 2015 – 2016 
Môn: TOÁN 
 21 12 ă 2015 
(Đề thi có 1 trang) 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ HỌC SINH GIỎI ĂM ỌC 2015-2016 
MÔN: TOÁN 
Đây ời giải ơ ược, thí sinh có lời giải khác m đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo 
th ng điểm dưới đây 
Bài ộ du 
1 
a 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 24 8 38 6x x y   
2 24 8 38 6x x y    )y7(3)1x(2y319x4x2 2222  (*) 0,5 
T thấy: y2y72)1x(2 22   ẻ 0,25 
T ại có: 7y0y7 22  . Do đó 1y1y2  0,25 
Lúc đó: 3)1x(18)1x(2 2  nên 4x;2x 21  0,25 
T thấy các cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên nghiệm 
củ phương trình. 
0,25 
b 
Ta có n
4
 + 4 = n
4
 + 4 + 4n
2
 – 4n2 0,25 
 = ( n
2
 + 2)
2
 – ( 2n)2 0,25 
 = ( n
2
 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) 0,25 
Vì n ố tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên 0,25 
n
2
 – 2n + 2 = 1 0,25 
 n = 1 0,25 
2 
a 
 Cho   2 22015 2015 2015x x y y     . Hãy tính A iết: 2016A x y   ? 
Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với  2 2015x x  t được: 
   2 22015 2015 2015 2015y y x x      (1) 
0,5 
Nhân cả 2 vế củ đẳng thức đã cho với  2 2015y y  t được: 
   2 22015 2015 2015 2015x x y y      (2) 
0,5 
Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn t được: x + y = 0. 0,75 
Vậy A = 2016. 0,25 
 ) Chứng minh rằng: Nếu 333 czbyax  và 1
z
1
y
1
x
1
 thì 
3333 222 cbaczbyax  
Đặt: tczbyax 333  . Ta có: 0,25 
3
3
3 222 t
z
t
y
t
x
t
czbyax  vì 1
z
1
y
1
x
1
 (1) 0,5 
Mặt khác: 3333 czbyaxt  0,5 
Suy ra: 33333 t
z
1
y
1
x
1
tcba 





 (2) 0,5 
Từ (1) v (2) uy r điều phải chứng minh. 0,25 
3 
a 
 2 44 4 2 11 4 (1)x x x    
      2 2 2 26 2 2 2 2 2 11 2 2 2 2x x x x x x x x           
0,5 
 2 2
2 2
6 2 2 2 2
2 11
2 2 2 2
x x x x
x x x x
   
  
   
 0,5 
do 2 22 2 ( 1) 1 0x x x      với mọi x 
Đặt 
2
2
2 2
2 2
x x
t
x x
 

 
 (t > 0) 
T được phương trình: 26 11 2 0t t   
0,5 
Giải (*) được t = 2 thỏ mãn yêu cầu 
Nên 
3
75
061034
22
22
2
22
22 2
2
2
2
2 






 xxx
xx
xx
xx
xx
t 
0,5 
b 
Dễ thấy 0y  , ta có: 
2 2
2 22 2
2
2
2
( ) 4 1 0 1 ( ) 4
( ) 2( 1) 7( ) 2 7 2
1
4
.
1
( ) 2 7
x x y y y x y y x y
y x y x yy x y x y
x
x y
y
x
x y
y
          
 
       
 
  

 
   

 0,5 
Đặt 
2 1
,
x
u v x y
y

   t có hệ: 
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
       
            
0,5 
+) Với 3, 1v u  t có hệ: 
2 2 1, 21 2 0
2, 53 3
x yx y x x
x yx y y x
       
           
. 
0,5 
+) Với 5, 9v u   ta có hệ: 
2 2 21 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
        
   
          
 VN. 
KL: Vậy hệ đã cho có h i nghiệm: (1;2) và ( 2;5) 
0,5 
4 
4 
H
F
E
D
O
B C
A
a 
T m giác ABE vuông tại E nên co A = 
AE
AB
 0,5 
Tam giác ACF vuông tại F nên co A = 
AF
AC
 . 0,5 
Suy ra 
AE
AB
=
AF
AC
  ( . . )AEF ABC c g c  
0,5 
Từ AEF ABC  suy ra 
2
2cosAEF
ABC
S AE
A
S AB
 
  
 
 0,5 
b 
Tương tự câu , 2 2cos , cos .CDEBDF
ABC ABC
SS
B C
S S
  1,0 
Từ đó uy r 2 2 2DEF 1 cos cos cosABC AEF BDF CDE
ABC ABC
S S S SS
A B C
S S
  
     
0,5 
Suy ra  2 2 21 cos cos cos .DEF ABCS A B C S    0,5 
c 
c) Chứng minh được ; ; .OA EF OB DF OC ED   
0,5 
Có 2 2.( )
ABC AEOF BDOF CDOE
S S S S   
0,5 
. . . .
. ( )
.
BC AD OA EF OB FD OC ED
BC AD R EF FD ED
BC AD
EF FD ED
R
   
   
   
0,5 
0,5 
0,5 
Chu vi t m giác DEF ớn nhất khi v chỉ khi AD ớn nhất; AD ớn nhất 
khi v chỉ khi A điểm chính giữ cung ớn BC. 
0,5 
5 
2 2 2
2 2 2
a b c 2ab 2bc 2ac
P
2bc 2ca 2ab c ab a bc b ac
     
  
 0,5 
M 
2 2 2 2 2 2a a bc 1 b b ac 1 c c ab 1
; ;
2bc 2bc 2 2ac 2ac 2 2ab 2ab 2
  
      nên 
0,5 
Với các ố dương x, y t có 2
x y
2 (x y) 0
y x
     uôn đúng, dấu ằng 
xảy r khi v chỉ khi x = y. 
0,25 
Áp dụng t có: 
2 2 2
2 2 2
c ab 2ab a bc 2bc b ac 2ac 3
P
2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2
       
           
       
 ≥ 
2+2+2 - 
3 9
2 2
 
 Dấu ằng xảy r khi v chỉ khi = = c 
Kết uận :giá trị nhỏ nhất củ 
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a
P
2abc c ab a bc b ca
    
   
  
 ằng 
9
2
 khi a = b = c 
0,5 
0,25 
Đính chính :Câu 5: P≥