Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh lớp 12 THPT năm học 2011-2012 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 
 MÔN THI: TOÁN 
 Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút. 
Bài 1: (4 điểm) 
 Giải hệ phương trình sau : 
y 1 x
2
2
2
 x (y 1)
2x 9x 64x 18x 20 y 1
2x 9x 8
+⎧ = +⎪⎨ − +− + − + = +⎪ − +⎩
Bài 2: (4 điểm) 
 Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm 
M. Cát tuyến qua B cắt ( và ( lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường 
thẳng MC cắt ( tại P khác C. Đường thẳng MD cắt 
( 1O
1O
) )
) )
)
( 2O
2O
1O ( )2O tại Q khác D. Gọi O là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của 
QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF . 
Bài 3: (4 điểm) 
 Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: 
1 1 1 3
( 1) ( 1) ( 1) 1a b b c c a abc
+ + ≥+ + + + 
 Bài 4: (4 điểm) 
 Cho đa thức . Giả sử P( có đủ 2012 nghiệm 
thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P( có ít nhất một nghiệm thoả 
mãn 
2012 2010P(x) x mx m (m 0)= − + ≠ x)
x) 0x
0x 2≤ . 
Bài 5: (4 điểm) 
 Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x2 – 2xy + y2 – 5x + 7y 
 và x2 – 3xy + 2 y2 + x – y đều chia hết cho 17. 
 Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17. 
 HẾT 
www.VNMATH.com
ĐÁP ÁN 
Bài 1 
y 1 x x (y 1) (1)+⎧ = +
2
2
2
2x 9x 64x 18x 20 y 1 (2)
2x 9x 8
⎪⎨ − +− + − + = +⎪ − +⎩
TXĐ : 5x 2; , y
2
⎡ ⎤∈ ≥⎢ ⎥⎣ ⎦ 1− 
Từ (2) , đặt 2 1t 4x 18x 20 (x 2)(10 4x), 0 t
2
= − + − = − − ≤ ≤ xét hàm số 
 ( ) 2 4 1f t t 1 t 0;t 4 2
⎡ ⎤= + + ∀ ∈⎢ ⎥+ ⎣ ⎦ 
( ) ( ) ( )
( )
( )
24 24 2
/
2 2 22 2 2
t 7t t 48t t 8t 16 8tf t 1 0
t 4 t 4 t 4
+ + −+ + −= − = = >
+ + +
Suy ra ( ) ( )f t f 0 2≥ =
Suy ra y 1 2 y 3+ ≥ ⇔ ≥ 
Ta có (1) ln(x) ln(y 1)
x y 1
+⇔ = + 
Xét hàm số ( ) ln(t)g t
t
= với t 0>
 ( )/ 21 ln tg t t
−= ; ( )/g t 0 t e= ⇔ = 
 Suy ra đồng biến trên ( ) , ( )g t 0;e ( )g t nghịch biến trên ( )e;+∞ 
 Do (5x 2; 0;e
2
⎡ ⎤∈ ⊂⎢ ⎥⎣ ⎦ ) suy ra 
ln x ln 2
x 2
≥ (3) 
 Do suy ra y 3≥ ln(y 1) ln 4 ln 2
y 1 4 2
+ ≤ =+ (4) 
Từ (3) và (4) ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất là x 2; y 3= = 
Thử lại thấy thỏa mãn. 
Bài 2 
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ, có EF là trục đẳng phương của 2 
đường tròn (I) và (O) 
 ⇒ EF ⊥ OI 
Để chứng minh MO vuông góc với EF ta chứng minh M, I, O thẳng hàng. 
 Có MP.MC MA.MB MQ.MD k= = = 
 Phép nghịch đảo cực M, phương tích k biến : 
 C 6 P 
 A 6 B 
www.VNMATH.com
 D 6 Q 
 Đường tròn (ACD) không đi qua M. Theo tích chất phép nghịch đảo ta có M, I, O thẳng 
hàng. 
O
E
F
P
Q
D
A
B
O1 O2
M
C
Bài 3 
1 1 1 a ab 1 abc 1 1 a b(1 c)
a(b 1) 1 abc 1 abc a(b 1) 1 abc a(b 1) b 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +∗ + = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 b bc 1 abc 1 1 b c(1 a)
b(c 1) 1 abc 1 abc b(c 1) 1 abc b(c 1) c 1
⎛ ⎞ ⎛+ + + + +∗ + = = +⎜ ⎟ ⎜+ + + + + + +⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
1 1 1 1 c a(1
c(a 1) 1 abc 1 abc c(a 1) a 1
⎛ ⎞+ +∗ + = +⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠
b)
Cộng theo vế: 
1 1 1 3
a(b 1) b(c 1) c(a 1) 1 abc
1 1 b c(1 a) 1 a b(1 c) 1 c a(1 b)
1 abc b(c 1) c 1 a(b 1) b 1 c(a 1) a 1
1 6
1 abc
+ + ++ + + +
⎛ ⎞+ + + + + += + + + + +⎜ ⎟+ + + + + + +⎝ ⎠
≥ + i
⇒ đpcm 
Bài 4 
Gọi x1, x2,..., x2012 là các nghiệm của P(x) ⇒ 1 2 2012P(x) (x x )(x x )...(x x )= − − − 
www.VNMATH.com
Ta có 1 2 2012
1 2 2012
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1
P(1) P( 1) 1
(1 x )(1 x )...(1 x ) 1
− − − =⎧= − = ⇒ ⎨ + + + =⎩
Suy ra , từ đó ta có đpcm. 2 2 21 2 2012(x 1)(x 1)...(x 1) 1− − − =
Bài 5: 
Ta có x2 – 3xy + 2y2 + x – y 
= (x-y)(x-2y+1) chia hết cho 17 
⇒ x – y chia hết cho 17 
Hoặc x – 2y + 1 chia hết cho 17 
 x = y (mod 17) ⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y 
≡ y2 –2y2 + y2 –5y +7y ≡ 2y (mod 17) 
Nên x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y chia hết cho 17 
⇒ 2y và y : chia hết cho 17 
Mà x ≡ y (mod 17) ⇒ x chia hết cho 17 
⇒ xy - 12x +15y cũng chia hết cho 17 
 x ≡ 2y - 1 (mod 17) 
⇒ x2 – 2xy + y2 - 5x +7 y 
≡ y2 –5y +6 (mod 17) 
Và xy - 12x +15y ≡ 2(y2 –5y +6) (mod 17) 
Nếu x2 – 2xy + y2 - 5x +7 chia hết cho 17 thì xy - 12x +15y cũng vậy. 
www.VNMATH.com