Đề thi chọn đội tuyển HSG môn Toán Lớp 9 (Đề dự bị) - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ DỰ BỊ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN Toán
Thời gian làm bài: 150phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2 điểm):
1) Cho a3 + b3 + c3 = abc; abc ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:
2) Cho Tìm các số nguyên dương n sao cho [Sn] = 2.
Câu 2 (2 điểm):
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3: ( 2,0 điểm)
 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
 2(x+y) + xy = x2 + y2 
 2/ Trong mặt phẳng cho 2014 điểm sao cho 3 điểm bất kì trong chúng luôn là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng : tất cả các điểm đã cho luôn nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
Câu 4 (3 điểm):
 Cho điểm C di chuyển trên cung lớn AB của một đường tròn O cố định, các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại D, đường thẳng CD cắt đường tròn O tại E .Điểm M là trung điểm của AB
1)Khi điểm C không là chính giữa cung AB chứng minh 4 điểm O,C,M,E cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh 
3) Tìm vị trí của C trên cung lớn AB sao cho có giá trị lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn 
Chứng minh 
------------- Hết-------------
Giám thị 1: .................................................. Giám thị 2: .................................................
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ..............................................................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI
CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN .....Toán..... - VÒNG 2
Thời gian làm bài: ....150... phút
(Hướng dẫn chấm gồm 5 câu, 5 trang)
Câu 1
Ý
Nội dung
Điểm
a. (1điểm)
0,25
Có: a3 + b3 + c3 = abc 
0,25
Nếu a + b + c = 0 a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b
Khi đó: A = 
0,25
Nếu 
.
Khi đó: A = 
0,25
1điểm
Trước hết ta chứng minh: 
với , n≥2.
Thật vậy:
 với mọi .
 với mọi .
Khi đó 
Để [Sn] = 2 thì 
Với n = 1; 2 thì Sn =1, [Sn] = 1.
Với n = 3; 4 thì , [Sn] = 2.
Vậy n = 3; 4 là các giá trị cần tìm.
0,5
0,25
0,25
Câu 2
(2điểm)
1)(1đ) Đk: hoặc x >2
Đặt 
Ta có y2 +4y +3 = 0 => y = -1; y = -3
Vì y x < 2
Thay y= -1 => x2- 4 = 1 => x2 = 5 mà x < 2 nên x = -
Với y = -3 => x2 = 13 mà x x = -
Kết luận 
2) (1 đ)Đk 
Ta có 2 - 2y - y2 = 3 - ( y+1)2
Vì 
=> 3 -(y +1)2 = 3 => y = -1 . Khi đó x = 8
Thử lại : đúng 
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu3
(2điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2(x+y) + xy = x2 + y2 (1)
1,0
1
 Biến đổi phương trình (1) ó x2 - ( y+2) x + y2 – 2y = 0 (2)
 Coi (2) là PT bậc 2 ẩn x , có = 16 – 3(y-2)2 
0,25
 Để PT (1) có nghiệm nguyên thì PT (2) phải có nghiệm nguyên
 => và phải là số chính phương. 
 => và là số chính phương. 
0,25
 Từ điều kiện trên ta tìm được 
0,25
 Với mỗi giá trị của y ta tìm được giá trị tương ứng của x 
 Suy ra các nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là 
 ( x; y ) 
0,25
2
 Toán suy luận lô-gic
1,0
Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác MNP có diện tích lớn nhất là S.
 => S 1 
Qua mỗi đỉnh của tam giác này, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện của tam giác. Các đường thẳng này giới hạn tạo thành tam giác DEF
0,25
 Ta có : S(DEF) = 4 S(MNP) 4 
0,25
 Ta sẽ chứng minh tất cả 2014 điểm đã cho nằm trong tam giác DEF.
 Thật vậy : Giả sử tồn tại một điểm A nằm ngoài tam giác DEF.
 Kẻ AH và PI cùng vuông góc với MN.
 Ta có AH > PI => S(AMN) > S(PMN)
0,25
 => Trái với giả thiết là tam giác MNP có diện tích lớn nhất.
Vậy tất cả 2014 điểm đã cho đều nằm trong một tam giác DEF đã xác định như trên và diện tích tam giác DEF không lớn hơn 4.
0,25
Câu 4 
( 3điểm)
1 điểm
Ta C/m được DM.DO =DE.DC= BD2 
 Suy ra tam giác DME đồng dạng với tam giác DCO
 suy ra 
Suy ra tứ gác COME có tổng hai góc đối bằng 2 v suy ra (đpcm)
0,5
0,25
0,25
0,25
2)
1 điểm
CM cắt (O) tại F ta c/m E và F đối xứng qua OD
Thật vậy 
Khi đó MD là trục đối xứng của và của (O) nên Evà F đối xứng qua OD từ đó suy ra cung BF bằng cung AE suy ra (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
3)
1 điểm
Chứng minh (hệ thức trung tuyến )
 DAHM = D BFM ( g.c.g) suy HM=FM và AH = BF 
áp dụng định lí pi ta go có 
Cộng vế với vế có 
 Đặt HM=MF=x ,AB= 2a
Rút gọn có hệ thức trên suy ra 
(O) cố định dây AB cố định 
Do vậy có giá trị lớn nhất khi CM lớn nhất vì AB không đổi
Từ đó chỉ ra C là điểm chính giữa cung lớn AB 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
1 điểm
Có 
 (vì )
0,25
Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm ta có 
Do đó 
0,25
Chứng minh được bđt với x; y; z (*)
Áp dụng bđt (*) ta có:
Suy ra 
0,25
Cộng từng vế hai bđt (1) và (2) ta có (đ.p.c.m)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
Ghi chú: 
- Nếu học sinh làm cách khác mà đúng, chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh áp dụng bđt Côsi cho 2 số thì không cần chứng minh, nếu áp dụng bđt Côsi cho 3 số thì phải chứng minh.
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------- Hết-------------