Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Toán - Năm học 2020-2021 - Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2020 - 2021
Bài thi môn chuyên: TOÁN; Ngày thi: 18/7/2020
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm): 
1. Cho với . Chứng minh là một số tự nhiên.
2. Tính giá trị của biểu thức với .
Câu 2 (2,0 điểm):
1. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
2. Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (1,5 điểm): 
1. Tìm tất cả các số nguyên sao cho là số chính phương.
2. Giải bất phương trình . 
Câu 4 (3,0 điểm):
 Cho đường tròn tâm và dây cung AB cố định (). là điểm di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ). Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại (). Gọi là tiếp tuyến chung của với tại , là tiếp tuyến chung của với tại , cắt tại điểm .
 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh: và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).
Câu 5 (1,5 điểm): 	
1. Cho ba số dương thoả mãn: 
 Chứng minh rằng: 
2. Với số thực , ta định nghĩa phần nguyên của số là số nguyên lớn nhất không vượt quá và kí hiệu là . Dãy các sốđược xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số có bao nhiêu số khác 0 ? 
(Biết )
------HẾT------
Lưu ý: Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ
và không có chức năng soạn thảo văn bản.
Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:...................................................
Họ và tên, chữ ký:
Cán bộ coi thi thứ nhất:................................................................................
Cán bộ coi thi thứ hai:..................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 18/7/2020
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2,0 đ)
1. (1,0 điểm) Cho với . Chứng minh là một số tự nhiên.
0,25
0,25
0,25
 Vì ( đpcm).
0,25
2. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức với .
Với 
Ta có: 
0,25
0,25
Với 
0,25
Suy ra 
0,25
2 
(2,0 đ)
1. (1,0 điểm). Cho phương trình . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
0,25
+) Nếu 	
Từ giả thiết 
0,25
+) Nếu 	
0,25
Kết luận .
0,25
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Có 
0,25
+) Trường hợp 1: thay vào ta được 
0,25
+) Trường hợp 2: thay vào ta được 
0,25
 Vậy hệ có 4 nghiệm 
0,25
3 
(1,5 đ)
1. (0,75 điểm) . Tìm tất cả các số nguyên sao cho là số chính phương. 
Đặt với là số nguyên khác 0.
.
Có là số chẵn nên và cùng tính chẵn lẻ
0,25
Nếu là số lẻ thì cũng lẻ là số lẻ
.
0,25
Nếu là số chẵn thì cũng chẵn (vô lý)
Vậy không tồn tại n thỏa mãn bài toán.
 0,25
2. (0,75 điểm) Giải bất phương trình 
Điều kiện: . 
0,25
0,25
Đối chiếu ĐK tập nghiệm của bất phương trình là: 
0,25
4 
(3,0 đ)
Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn tâm và dây cung AB cố định (). là điểm di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ). Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Đường tròn tâm đi qua điểm tiếp xúc với đường tròn tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại (). Gọi là tiếp tuyến chung của với tại , là tiếp tuyến chung của với tại , cắt tại điểm .
 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh: và bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).
A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H
Vẽ hình được 0,5 điểm
1. (0,5 điểm) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Có (Tính chất tiếp tuyến)
0,25
 (Tính chất tiếp tuyến) .
 cùng nhìn dưới một góc vuông nên tứ giác nội tiếp .
0,25
2. (1,25 điểm)
Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
Trong đường tròn có sđ 
Trong đường tròn có sđ 
0,25
Trong đường tròn có sđ 
0,25
Ta có , suy ra NAQB nội tiếp .
0,25
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn 
( hai góc nội tiếp cùng chắn )
0,25
Trong có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). 
Trong có (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 
 0,25
 3.(0,75 điểm). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên đoạn thẳng ( và khác trung điểm của đoạn thẳng ).
Theo các ý trên suy ra 5 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính 
0,25
Gọi E là trung điểm ; do cố định suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi 
đi qua các điểm .
0,25
 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng 
Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. 
0,25
5 
(1,5đ )
1. (0,75 đ) Cho ba số dương thoả mãn: 
Chứng minh rằng: 
Đặt với ();
và áp dụng các BĐT: 
suy ra 
0,25
0,25
Suy ra (đpcm).
0,25
2. (0,75 đ) Với số thực , ta định nghĩa phần nguyên của số là số nguyên lớn nhất không vượt quá và kí hiệu là . Dãy các sốđược xác định bởi công thức . Hỏi trong 200 số có bao nhiêu số khác 0 ? 
(Biết )
 Nên các số khác 0 chỉ nhận giá trị bằng 1.
0,25
0,25
Mà nên số các số khác 0 là 141
0,25
------------ Hết ------------