Đề thi Chọn đội tuyển TP.HCM 2011-2012 môn Toán

Đề thi Chọn đội tuyển TP.HCM 2011-2012
Ngày thứ nhất
Bài 1: (4đ)
Giải hệ phương trình sau:
Bài 2: (4đ)
Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt và lần lượt tại C,D (B nằm giữa C,D). Đường thẳng MC cắt tại P khác C. Đường thẳng MD cắt tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Cm MO vuông góc EF.
Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương, cm rằng:
Bài 4: (4đ)
Cho đa thức. Giả sừ P(x) có đủ 2012 nghiệm thực. Cm rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn 
Bài 5: (4đ)
Cho các số nguyên x,y. Biết rằng và đều chia hết cho 17. Cm rằng chia hết cho 17.
————–
Ngày thứ hai
Bài 1: (4đ)
Tìm tất cả các hàm thỏa
Bài 2: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, lấy P,Q bất kỳ thuộc AB,AC. M,N,J lần lượt là trung điểm BP,QC,PQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNJ cắt PQ tại R. Cm OR vuông góc PQ
Bài 3: (4đ)
Cho a,b,c là các số thực dương. Cm
Bài 4: (4đ)
Tìm số hạng tổng quát của dãy  thỏa
Bài 5: (4đ)
Tìm các số nguyên dương a,b sao cho  là bình phương của một số nguyên