Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
GIA LAI 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH 
Năm học : 2011-2012 
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: Toán 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu 1. (3,0 điểm) 
a) Cho 
2
x
1 1
2 1 1 2 1 1


   
 . Tính giá trị của biểu thức  
2012
4 3 2A x x x 2x 1     
b) Chứng minh biểu thị  
2
3 2P n . n 7 36n   chia hết cho 7 với mọi số nguyên n 
Câu 2 (3,0 điểm) 
a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng  có phương trình y x 1  
Tìm trên đường thẳng  các điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức 2y 3y x 2x 0   
b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y ax b  . Tìm 
a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình 2y 2x 
Câu 3 (4,0 điểm) 
a) Giải hệ phương trình 
x 2 y 5
x y 1
  

 
b) Gọi 
1 2
x ;x là hai nghiệm của phương trình  22012x 20a 11 x 2012 0    (a là số thực) 
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức  
2
2 1 2
1 2
1 2
x x3 1 1
P x x 2
2 2 x x
 
     
 
Câu 4. (4,0 điểm) 
a) Cho các số thực a, b, c sao cho 1 a,b,c 2.  Chứng minh rằng  
1 1 1
a b c 10
a b c
 
     
 
b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào 
rổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được 
vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được 
tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả. 
Câu 5. (6,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM (H, 
M thuộc BC). Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng AC lần 
lượt tại D và E (D và E khác điểm A) 
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE 
b) Chứng minh 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đường 
tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D . Tứ giác AMOH là hình gì ? 
c) Đặt ACB ;AMB .   Chứng minh rằng  
2
sin cos 1 sin     
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 GIA LAI NĂM 2011-2012 
Câu 1 
a) Rút gọn x 2 
Thay x 2 vào biểu thức A ta được A = 1 
b) 
    
   
       
2
3 3 3
3 2 2 3
P n n 7n 36 n n 7n 6 n 7n 6
n n n n n 6(n 1) n n 6 n 1
n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3
        
  
             
      
Ta có P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7 
Câu 2 
a) Điều kiện x 0 . Tọa độ M (x;y) là nghiệm của hệ phương trình 
2
y x 1 x 1
y 2y 3y x 2x 0
  
 
   
 Vậy M (1;2) 
b) Vì đường thẳng d đi qua B (1;2) nên b 2 a  . Khi đó phương trình đường thẳng d có 
dạng y ax 2 a   
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 22x ax a 2 0(1)    
(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép 
0 a 4   Với a = 4 suy ra b = - 2. 
Vậy a = 4; b = - 2 thõa mãn yêu cầu bài toán 
Câu 3 
a) Ta xét hai trường hợp 
TH1:y 0 ta có hệ phương trình 
x 2y 5 x 3
x y 1 y 4
    
 
   
 (thỏa mãn điều kiện) 
TH2:y 0 ta có hệ phương trình 
7
x
x 2y 5 3
x y 1 4
x
3

  
 
    

 (thỏa mãn điều kiện ) 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là  
7 4
3;4 ; ;
3 3
 
  
 
b) Ta có ac 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu 
Ta có : 
1 2 1 2
20a 11
x x ; x x 1
2012

    
Do đó    
2
2 1 2
1 2 1 2
x x3
P x x 2 x x
2 2
 
     
 
 (do 
1 2
x .x 1  
       
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 9
x x x x 6 x x 6 x x 4x .x
2 2
         
 
2
20a 11
6 24
2012
 
  
 
 (do 
1 2 1 2
20a 11
x x ;x .x 1)
2012

    24 với mọi a 
Vậy GTNN của P = 24. Dấu “=” xảy ra khi 
11
a
20
 
Câu 4 
a)  
1 1 1 a b c b c a
a b c 10 7
a b c b c a a b c
 
            
 
Không mất tính tổng quát , giả sử a b c.  Khi đó ta có   a b b c 0   
Suy ra 2ab bc b ca   
Từ đó suy ra 
a a b c c b
1 ; 1
c b c a b a
      
Suy ra 
a b c b c a a c
2 2
b c a a b c c a
 
        
 
Ta cần chứng minh 
a c
2 5
c a
 
  
 
Tức là chứng minh 
2a 2c
1 1 0(*)
c a
  
    
  
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vì 
a c 1
2 a c 1 1;
c a 2
      
Từ đó suy ra điều phải chứng minh 
b) Gọi số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh là 
1 2 3 7
a ;a ;a ;........;a được xếp từ 
nhỏ đến lớn 
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a (1)      
Xét hai trường hợp: 
TH1: 
5
a 16. Suy ra 
6 7
a 17;a 18.  Do đó ta có 
5 6 7
a a a 51 (2)   
TH2: 
5
a 15 suy ra 
4 3 2 1
a 14;a 13;a 12;a 11    
Ta có 
1 2 3 4
a a a a 50    
Suy ra 
5 6 7
a a a 50(3)   
Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh 
Câu 5 
a) Do 0DAE 90 nên DE là đường kính của đường tròn tâm H, bán kính HA suy ra 
D, H, E thẳng hàng 
Ta có : MAE MCA HAD ADE   
Vì 0ADE AED 90  nên 0MAE AED 90  
Suy ra MA vuông góc với DE 
b) Từ ADE MCA suy ra tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O) 
Do OM vuông góc với BC và AH vuông góc với BC nên AH // OM 
Do OH vuông góc với DE và AM vuông góc với DE nên OH // AM 
Vậy tứ giác AMOH là hình bình hành 
c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM 
Ta có : 
1
AH AM.sin BC.sin
2
    (1) 
Mặt khác AH AC.sin BC.sin .cos (2)     
O
D
E
MH
A
B C
Từ (1) và (2) suy ra 
 
2
sin 2.sin .cos
Ma` sin cos 1 2sin .cos (dpcm)
   
     