Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
(Đề thi có 01 trang) 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2016 – 2017 
Môn thi: Toán – Lớp 9 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. (3,0 điểm) 
 1) Rút gọn biểu thức 13 30 2 9 4 2B 
 2) Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 2 2 20, ,a b c a b c 2 2 2,b c a 2 2 2.c a b 
Tính giá trị biểu thức 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
a b c
P
a b c b c a c a b
Câu 2. (4,0 điểm) 
1) Trong hệ trục tọa độ ,Oxy tìm trên đường thẳng 2 1y x những điểm ;M x y sao 
cho 2 5 6 0y y x x . 
2) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn 0
6 5 4
a b c
. Chứng minh rằng phương trình 
2 0ax bx c luôn có nghiệm. 
Câu 3. (4,0 điểm) 
1) Cho các số thực dương , , .a b c Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
8 8 8 8 8 8
3 3 3( ) 4 ( ) 4 ( ) 4
a b c
a b ca b abc b c abc a c abc
. 
2) Tìm các số nguyên tố , ,a b c và số nguyên dương k thỏa mãn phương trình 
2 2 2 216 9 1.a b c k 
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho đoạn thẳng 2AB a có trung điểm là .O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa 
đường tròn tâm O đường kính AB và nửa đường tròn tâm 'O đường kính .AO Điểm M thay đổi 
trên nửa đường tròn 'O (M khác A và O ), tia OM cắt đường tròn O tại .C Gọi D là giao 
điểm thứ hai của CA với đường tròn 'O . 
1) Chứng minh rằng tam giác ADM cân. 
2) Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt tia OD tại ,E chứng minh EA là tiếp tuyến 
chung của hai đường tròn O và 'O . 
3) Đường thẳng AM cắt OD tại H , đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt đường tròn 
O tại điểm thứ hai là .N Chứng minh rằng ba điểm , ,A M N thẳng hàng. 
4) Tính độ dài đoạn OM theo a biết ME song song với .AB 
Câu 5. (3,0 điểm) 
1) Cho hình vuông MNPQ và điểm A nằm trong tam giác MNP sao cho 
2 2 22AM AP AN . Tính góc .PAN 
2) Cho các đa thức 3 2 2; 2016 2017P x x ax bx c Q x x x thỏa mãn 
0P x có ba nghiệm thực phân biệt và 0P Q x vô nghiệm. 
Chứng minh rằng 62017 1008 .P 
-------------HẾT------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
UBND TỈNH BẮC NINH 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2016 - 2017 
Môn: Toán - Lớp 9 
Câu Đáp án Điểm 
1.1. (1.5 điểm) 
2
13 30 2 9 4 2 13 30 2 8 2 8 1
13 30 2 ( 8 1) 13 30 2 8 1
B
 0.75 
2
2
13 30 2 2 2 1 13 30 ( 2 1) 18 2 18.5 25
( 18 5) 3 2 5
 0.75 
1.2. (1.5 điểm) 
2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
a b c
P
b c b c c a c a a b a b
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2
a b c a b c
bc ca ab abc
0.75 
Ta có 3 3 3 2 2 23 0a b c abc a b c a b c ab bc ca 
3 3 3 3a b c abc 
Do vậy, 
3
2
P 
0.75 
2.1. (2.0 điểm) 
Ta có 
2
2
5 6 0
3
y x
y y x x
y x
Với 
2
2 2 1 2 1 0y x x x x x , không có x thỏa mãn. 
1.0 
Với 
11
3 2 1 3 11
42
xx
y x x x
xx
Từ đó tìm được các điểm thỏa mãn là 1;3M hoặc 
1 3
; .
4 2
M 
1.0 
2.2. (2.0 điểm) 
Với 
5
0
4
a b c ta được 
5
4
cx c . 
Nếu 0,c phương trình nghiệm đúng với mọi .x 
Nếu 0,c phương trình có nghiệm 
4
.
5
x 
1.0 
Với 0,a 
2 2 2 2 2 2 24 4 16 8 16 64 84 4
6 5 5 3 5 25 75
b ac b a a b b ab a b ab a a 
2
28 8 0, 0, .
5 75
b a a a b Suy ra, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Vậy phương trình luôn có nghiệm. 
1.0 
3.1. (2.0 điểm) 
Ta có 
2
2 2
2 2 2 2
8 8 8 ( )
;
( ) 4 ( ) ( ) ( ( 21) )
a b
a b
a b abc a b c a b c a b
 nên 
0.5 
2 2 2
2 2
8 8 ( ) 2 2
2 4( ) 4 ( 1)( ) 1
a b a b
a b abc c a b c
 0.5 
2 2 8 8
31 2. 2 1 cc c
 0.5 
Do đó, 
2 2
2
8 8
2 3( ) 4
a b
ca b abc
Tương tự 
2 2
2
8 8
2 3( ) 4
c
ab c ab
b
c
, 
2 2
2
8 8
2 3( ) 4
a c
ba c abc
. 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1.a b c 
0.5 
3.2. (2.0 điểm) 
Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1. Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1 
hoặc 0 nên hai trong ba số , ,a b c phải bằng 3. 0.5 
TH1: 3a b ta có 2 2 2 218 16 9 1 17 9 16 (3 4 )(3 4 )c k k c k c k c 
3 4 1
3 4 17
k c
k c
3
2
k
c
 (thỏa mãn) 
Vậy ta được ; ; ; 3;3;2;3a b c k . 
0.5 
TH2: Nếu 3c ; 3a hoặc 3.b 
Với 3a ta có 
2 2 2 2 2 2 33 16 3 9 1 152 9 (3 )(3 ) 2 19.b k k b k b k b 
Vì 3 ,3k b k b cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn. 
Ta được các trường hợp: 
3 2
3 76
13
37
k b
b bk
k
 (thỏa mãn) 
Ta được các bộ ; ; ;a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,37,3,13).a b c k 
3 4
3 3
7
178
k b
k b
k
b
 (thỏa mãn) 
Ta được các bộ ; ; ;a b c k thỏa mãn là ( , , , ) (3,17,3,7)a b c k 
Tương tự ta có các bộ ( , , , ) (37,3,3,13),(17,3,3,7).a b c k 
1.0 
4.1. (1.0 điểm) 
C
H
D
N
M
E
O' O BA
Tam giác AOC cân tại O , có OD là 
đường cao nên là phân giác trong góc 
AOC , do đó AOD COD 
0.5 
AD DM nên .DA DM 
Vậy tam giác AMD cân tại .D 
0.5 
4.2. (1.0 điểm) 
0. . 90 .OEA OEC c g c OAE OCE 0.5 
Do đó, .AE AB Vậy AE là tiếp tuyến chung của O và ' .O 0.5 
4.3. (2.0 điểm) 
Giả sử AM cắt O tại 'N . 'OAN cân tại ,O có 'OM AN nên OM là đường trung 
trực của ' '.AN CA CN 
1.0 
Ta có 'CN A CAM mà ,CAM DOM do đó ' .CN H COH Bốn điểm , ', ,C N O H 
thuộc một đường tròn. 
Suy ra, 'N thuộc đường tròn ngoại tiếp .CHO Do vậy, 'N trùng với .N Vậy ba điểm 
, ,AM N thẳng hàng. 
1.0 
4.4. (2.0 điểm) 
Vì / /ME AB và AB AE nên ME AE . 
Ta có hai tam giác ,MAO EMA đồng dạng nên 
2 .
MO MA AO
MA AOEM
EA EM MA
 (*) 
1.0 
Dễ thấy MEO cân tại M nên .ME MO Thay vào (*) ta được 2 .MA OAMO (**) 
Đặt 0MO x ta có 2 2 2 2 2.MA OA MO a x 
Từ (**) suy ra 2 2 2 2 0a x ax x ax a . 
Từ đó tìm được 
5 1
2
a
OM 
1.0 
5.1. (1.5 điểm) 
B
A
Q P
NM
 Dựng tam giác ANB vuông cân tại N 
( ,A B nằm khác phía đối với NP ). 
Ta có 
2 22AB AN , 045BAN và 
. .AMN BNP c g c AM BP . 
1.0 
Do đó, 2 2 2 2 2 22AP AB AP AN AM BP ABP vuông tại .A 
Nên 0 0 090 45 135PAN PAB BAN 
0.5 
5.2. (1.5 điểm) 
Gọi 
1 2 3
, ,x x x là ba nghiệm của P x ta có 
1 2 3
P x x x x x x x 
Suy ra, 
1 2 3
P Q x Q x x Q x x Q x x 
0.5 
Do 0P Q x vô nghiệm nên các phương trình 0 1,2,3
i
Q x x i vô nghiệm. 
Hay các phương trình 2 2016 2017 0 1,2,3
i
x x x i vô nghiệm 
Do đó, các biệt thức tương ứng 2 2' 1008 2017 0 2017 1008
i i i
x x 
Suy ra, 6
1 2 3
2017 2017 2017 2017 1008 .P x x x 
1.0 
Chú ý: 
 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 
 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong 
trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với 
tổ chấm để giải quyết. 
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. 
-----------Hết-----------