Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 6-3-2018 - Bảng A ) - Năm học 2017-2018 - Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH QUẢNG NINH 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018 
Môn thi: TOÁN – Bảng A 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/03/2018 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài 1 (3,0 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức 
33 3 32 7 2 10 3 4 3 2 1
5 2 1
    
 
b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn 3 3
1
x y x y .
27

   Tính giá trị của biểu thức 
x
y
Bài 2 (3,0 điểm) 
a) Với mọi số nguyên n, chứng minh rằng : 2n(n 2)(73n 1) 24  
b) Tìm số tự nhiên n để 4 7 n2 2 2  là số chính phương. 
Bài 3 (5,0 điểm) 
a) Giải hệ phương trình : 22 3x 3x 7x 1     
b) Giải hệ phương trình : 
  2
2
3x y 2 x 2 y 1 5
2x y y 6
      

   
Bài 4 (7,0 điểm) 
 Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt 
phẳng bở là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn 
đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC  M B;M C  . Kẻ 
MH vuông góc với BC  H BC , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại 
K. Hia đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. 
a) Chứng minh rằng HKB CEB và 2BE BC.AB 
b) Từ C kẻ CN AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt 
CE tại P. Chứng minh rằng NP = PE 
c) Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì 
NE 2.NC 
Bài 5 (2,0 điểm) 
 Cho a, b là các số dương thỏa mãn a b 2ab 12   
Tìm giá trị nhỏ nhấ của biểu thức 
2 2a ab b ab
A
a 2b 2a b
 
 
 
ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẢNG NINH 2017-2018 
Câu 1. 
a) Rút gọn biểu thức 
   
2 3
3 3333 3 3 2 5 2 4 12 7 2 10 3 4 3 2 1
1
5 2 1 5 2 1
       
 
   
b) Ta có 3 33 3
1
x y x y 27x 27y 1 27x y 0
27

        
           
3 2 23 2
3 3 3 3 33x 3 y 1 3.3x. y 0 3x y 1 . 3x 3 y 3. y 1 1 3x 0              
  
Do x, y >0 nên suy ra 3
1
x
x3
3x 3 y 1 9.
1 y
y
27


    
 

Vậy giá trị của biểu thức 
x
y
 là 9 
Câu 2. 
a) Ta có 2 2n(n 2)(73n 1) 72n .n.(n 2) (n 1)n(n 1)(n 2) 24        
b) Ta thử n = 1,2,3 đều không thỏa mãn . Với n > 4 thì ta có 
4 7 n 2 4 n 4 22 2 2 k 2 (9 2 ) k k 4       . Đặt k=4h với h là số tự nhiên.Ta có: 
    
x
n 4 2 n 4 2 y y x x y x
h 3 2
9 2 h 2 h 9 h 3 h 3 h 3 2 6 2.3 2 2 2 . 2 1
x y n 4
  
  

                
   

x
y x
2 2 n 8
h 5 k 202 1 3
  
  
    
 . Vậy n = 8 là giá trị phù hợp 
Câu 3. 
a) ĐKXĐ: 
2
x
3
 
Phương trình 
  
 
2 1 3x3x 7x 2 2 3x 1 0 3x 1 x 2 0
2 3x 1
1 2 4 1
1 3x 2 x 0.Dox 2 x 0 2 x 0
3 32 3x 1 2 3x 1

           
 
 
              
    
Suy ra 1 – 3x =0
1
x (TMDK)
3
  . Vậy phương trình có nghiệm 
1
x
3
 
b) ĐKXĐ:   x 2 y 1 0.   Cộng theo hai vế phương trình của hệ ta được: 
  x 2 2 x 2 y 1 y 1 0(*)       
Xét 
x 2
y 1


 
 . phương trình (*)  
2
x 2 y 1 0 x 2 y 1 x y 3            
Thay vào 22x y y 6    được   2y y 12 0 y 4 y 3 0 y 4         (Vì y 1)  
Nên x = 7. 
Xét 
x 2
y 1


 
 .Khi đó    x 2 2 x 2 . y 1 y 1 0       phương trình vô nghiệm 
Vậy hệ phương trình có nghiệm    x;y 7;4 
Câu 4. 
a) Ta có 0BME BKE 90  nên BMKE nội tiếp HKB CEB  mà HKB BAE (cùng phụ 
với HKA) nên CEB BAE 
Q
PN
E
K
H O'O
A
BC
M
Xét BEC và BAE có: CEB BAE và ABE chung nên đồng dạng 
2BE BC BE BC.AB
AB BE
    
b) Xét tam giác ABN vuông tại N có NC AB 
Suy ra 2BN BC.AB BN BE   
Hay BNE cân tại B BNE BEN (1)  
Theo câu a thì CEB BAE mà BAE BNP CEB BNP (2).   
Từ (1) và (2) PNE PEN PNE   cân tại P NP PE  
c) Gọi Q là giao điểm của tia BP và NE 
Vì BP = BE và PN = PE nên BQ NE 
NE là tiếp tuyến của (O) nên ON NE. Do đó ON // BQ BNO QBN  
Mà BNO NBO QBN NBO   hay BN là tia phân giác của CBQ mà NQ BQ và 
NC BC nên NQ = NC . Vì BQ là đường trung trực của NE nên NE 2.NQ suy ra 
NE = 2.NC 
Câu 5. 
Ta có 
 
2
a b
12 a b 2ab (a b) a b 4.
2

         Khi đó 
   
 
 
 
 
 
2
2 2
22 2
2
2
2
a ba b a b
A a b . a b . 4.
a 2b 2a b a 2ab 2ab b a b 2ab
a b 8
4.
3a b
a b
2
  
        
       

 

 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2a ab b ab
A
a 2b 2a b
 
 
 
 là 
8
3
 khi và chỉ khi a = b = 2