Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán- Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Đề chính thức) (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Ngày thi: 04/03/2015
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (5,0 điểm). 
Cho biểu thức: với x không âm, khác 4.
Rút gọn A.
 Chứng minh rằng với mọi x không âm, khác 4.
Tìm x để A là số nguyên.
Câu 2 (5,0 điểm).
Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) 
b) 
Câu 3 (2,0 điểm). 
Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Câu 4 (7,0 điểm). 
Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’. Chứng minh rằng:
Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau.
Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC.
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1.
------HẾT------
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:.....................................
Họ và tên, chữ ký:
Giám thị 1:.........................................................................................
Giám thị 2:.........................................................................................