Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2012-2013 - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (4 điểm). Cho phương trình (1)
(x là ẩn số, m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để .
Câu 2 (4 điểm). Cho biểu thức: P = 
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P = 3.
Câu 3 (4 điểm).
1. Giải hệ phương trình: 
2. Giải phương trình: .
Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.
1. Chứng minh rằng .
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm). 
1. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n2 + np + p2 = 1 - . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.
2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
.
	 Đẳng thức xảy ra khi nào?
-----HẾT-----
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.......................................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:.......................................................................................................