Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Ngày thi 8-3-2016 - Năm học 2015-2016 - Trường THCS Ngọc Châu (Có đáp án)

PHÒNG GD – ĐT TP HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS NGỌCCHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 8 tháng 3 năm 2016
C©u 1 (2 ®iÓm): Giải các phương trình:
	 a) 	 c) .
	b) 	 d) (x + 2) (x + 3) (x - 5) (x - 6) = 180
C©u 2 (2 ®iÓm): 1. Cho biểu thức: 
 	a) Rút gọn biểu thức A. 
 	b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
2. Cho 
Tính 
C©u 3 (2 ®iÓm): 
	a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau:
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
	b) Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/giờ rồi đi tiếp từ B đến C với vận tốc 32 km/giờ. Tính độ dài quãng đường AB và BC, biết rằng quãng đường AB dài hơn quãng đường BC là 6km và vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường AC là 27 km/h.
C©u 4 (3 ®iÓm): 
	Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
a) Chứng minh rằng AH . AB = HF . BN 
b) Tứ giác AEMD là hình gì? Vì sao?
c) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 
C©u 5 (1 ®iÓm): 
a) CMR: Với n∈ N*, giá trị của biểu thức sau là số chính phương :
b) CMR: Nếu thì 
-----------------------Hết-------------------------
PHÒNG GD – ĐT TP HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THCS NGỌCCHÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN – LỚP 8
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 03 trang)
Ngày thi 8 tháng 3 năm 2016 
Câu
Đáp án
Điểm
1
a. 
 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
 KL: .
0,25
0,25
b. 
ĐKXĐ: 
 (loại) hoặc x = 1(TMĐK)
Vậy pt có tập nghiệm là: 
0,25
0,25
c. 
0,25
0,25
d) (x2 – 3x – 10) (x2 – 3x – 18) = 180
Đặt x2 – 3x – 14 = y. Tìm được y = ± 14
- Với y = 14 ta tìm được x = 7 hoặc - 4
- Với y = -14 ta tìm được x = 0 hoặc 3
0,25
0,25
2
Biểu thức: 
a. Tìm ĐK: x ≠ ± 2
Rút gọn được kq: 
KL: Với x ≠ ± 2 thì 
0,25
0,5
0,25
b. 
0,5
2. (a2015 + b2015).(a+ b) - (a2014 + b2014).ab = a2016 + b2016
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Vì a = 1 => b2014 = b2015 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a2014 = a2015 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2016 + b2016 = 2. 
0,25
0,25
3
a. 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : 
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
0,25
0,25
0,25
0,25
b. Gọi độ dài quãng đường BC là x km ( x > 0 ) 
 => độ dài quãng đường AB là x + 6 (km )
Thời gian người đó đi từ A đến B : (h) 
 Thời gian người đó đi từ B đến c : (h) 
 Ta có phương trình : 
 Giải phương trình được x = 24 (tmđk) 
 Vậy: Độ dài quãng đường BC là 24km 
 Độ dài quãng đường AB là 30km 
0,25
0,25
0,25
0,25
4
0. 25 
a. Chứng minh được góc FAH = góc ANB (slt)
Chứng minh được tam giác HAF đồng dạng với tam giác BNA (g.g)
=> Tỉ lệ thức => ĐPCM
0.25 
0.25 
0.25 
b. Ta có góc DAM = góc ABF (cùng phụ góc BAH)
 AB = AD ( gt) 
Góc BAF = góc ADM = 900 (ABCD là hình vuông) 
 (g.c.g) 
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nên. AE = DM 
 Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác góc (gt) 
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
c. Ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác FAH (g.g) 
 hay ( AB=BC, AE=AF)
Lại có góc HAB = góc HBC (cùng phụ góc ABH)
=> Ta có tam giác CBH đồng dạng với tam giác EAH (c.g.c) 
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
5
a) 
 ta được B = sau đó cm suy ra (ĐPCM)
b) Từ GT, quy đồng mẫu ở VT rồi nhân chéo với VP, được 
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
Nhân phá ngoặc ở VT, rồi PT ĐTTNT, được (x + y)(y + z)(z + x) = 0
=> trong 3 số x, y, z luôn có 2 số đối nhau , giả sử x = -y, thay vào từng vế của đẳng thức cần cm, được KQ bằng nhau => ĐPCM 
0,25
0,25
0,25
0,25