Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Đề 9 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT TP HẢI DƯƠNG
T9
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề này gồm 5 câu, 1 trang)
Bài 1: (2 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi a, b, c (b≠0) thì:
Tính
Bài 2: (2 điểm)
Cho hai biểu thức và . Tìm các số tự nhiên x để A và B đều là các số nguyên tố.
Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số sao cho: 
Bài 3: (2 điểm) 
Giải phương trình: 
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: 
Chứng minh rằng: 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho , hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và HC.
a. Chứng minh DM là tiếp tuyến của .
b. Chứng minh: trực tâm I của ∆AMN là trung điểm của OH.
 c. Hai đường kính AH và DE của phải thoả mãn điều kiện gì để diện tích ∆AMN bé nhất.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Câu
Đáp án
Điểm
1
a
Biến đổi vế trái ta có:
= Vế trái
0,5
0,5
b
Ta có: 
(Áp dụng kết quả phần a với a = 2014; b = 1)
0,5
0,5
2
a
Ta có:
Với Để A là số nguyên tố thì 
 Khi đó: là số nguyên tố (t/m)
 (t/m).
Vậy x = 1 thì A và B đều là số nguyên tố.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Vì và là các số chính phương. Mà 53 thì chỉ có thể viết về dạng tổng có 2 số chính phương như sau: 
53 = 4 + 49
 Có 2 trường hợp xảy ra: mà x, y là chữ số 
(loại do x, y là chữ số)
( Hoặc học sinh loại trường hợp (II) do y + 3 > 2 do )
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
 ( Điều kiện: )
Vì (x t/mãn đk)
Để pt(1) có nghiệm thì (tmđk)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Đặt thì 
Vì vậy: 
 đpcm
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a
(V× tam gi¸c DHO c©n t¹i O)
(V× tam gi¸c DMH c©n t¹i M)
Mµ 
 MD lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R).
T­¬ng tù NE lµ tiÕp tuyÕn cña (O; R).
1
b
vu«ng t¹i A, ®­êng cao 
Mµ (cïng phô víi ) 
Mµ M lµ trung ®iÓm cña BH I lµ trung ®iÓm cña OH.
VËy trùc t©m I cña tam gi¸c AMN lµ trung ®iÓm cña OH.
1
c
Ta cã: 
 vu«ng c©n t¹i A 
VËy min .
1
5
Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2)
	 = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
0,25®
mµ	a3 + ab2 ³ 2a2b (¸p dông B§T C«si )
	b3 + bc2 ³ 2b2c
	c3 + ca2 ³ 2c2a
Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
0,25®
Suy ra 
0,25®
§Æt t = a2 + b2 + c2, ta chøng minh ®ược theo Bunhia t ³ 3.
Suy ra Þ P ³ 4
DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c = 1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 4
0,25®