Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Ngày thi 16-1-2015 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 16 tháng 01 năm 2015 
Câu 1 (2 điểm): a) Phân tích đa thức thành nhân tử : 
 b) Chøng minh ®¼ng thøc: 
Câu 2 (2 điểm): a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2 điểm): a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
b) Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số sao cho: 
Câu 4 ( 3 điểm):
1. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r), trong đó A di động, E cố định ( với A ≠ E). Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C. Gọi giao điểm của AE với (O ; R) là I và K, M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a) Chứng minh BC2 + IK2 không phụ thuộc vị trí điểm A .
b) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định. 
2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
Câu 5 (1 điểm): Cho ba số dương thoả mãn: 
 Chứng minh rằng: 
----------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: .......................................................................
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: ..........................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 5 câu, 05 trang)
Ngày thi 16 tháng 01 năm 2015 
Câu
Ý
Nội dung
Điểm TP
Tổng điểm
1
a
0,25 
1đ
0,25
0,25
0,25
b
Ta cã VT = 
0,5
0,5
1đ
2
a
ĐKXĐ: 
0,25
1đ
Khi đó 
0,25
Giải (1) được x = 1 (thoả mãn ĐKXĐ)
Giải (2): 
0,25
x =7; x = 8 thoả mãn ĐKXĐ. 
Vậy 
0,25
2
b
Đặt a= ; b = thì hệ đã cho trở thành 
1đ
Giải hệ trên 
0,25
- Với a = 2 ta có = 2 
0,25
Với b = 3 ta có = 3
 y= 1
Vậy hệ có nghiệm ( ; 1)
0,25
- Với a = b = , giải ra có x = , y = 
Kết luận: hệ có nghiệm là 
0,25
3
a
 Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).
 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).
 m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2).
 m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: và . 
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có: 
Suy ra (3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =. 
Kết luận: m =.
0.25 ®
0.25 ®
0,25đ
0,25đ
1đ
3
b
Vì và là các số chính phương. Mà 53 thì chỉ có thể viết về dạng tổng có 2 số chính phương như sau: 
53 = 4 + 49
 Có 2 trường hợp xảy ra: mà x, y là chữ số 
(loại do x, y là chữ số)
( Hoặc học sinh loại trường hợp (II) do y + 3 > 2 do )
Vậy 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1đ
4
1
BC cắt (O; r) tại D khác E. Do góc AED = 900 nên AD là Đường kính của (O;r)
Gọi N là trung điểm BC thì ONBC (đl) suy ra 
 NB = NC và NE = ND (đl) 
Gọi S là giao điểm của AE với OM 
do OM là đường trung bình của tam giác ADB suy ra OM // BC
Suy ra OM vuông góc với AE tại S và S là trung điểm của IK
 BC2 + IK2 = 4(CN2 +ÍS2) = 4(R2 – ON2 + R2 – ÓS2)
= 4( 2R2 – ON2 – O S2) = 8R2 – 4OE2 = 8R2 – 4r2 - không phụ thuộc vị trí điểm A.
Gọi AN cắt OE tại G suy ra G là trọng tâm của ADE suy ra AG = 2/3AN
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AN nên G cũng là trọng tâm của ABC
 Do OE cố định , suy ra G cố định 
Xét ABC có G là trọng tâm nên trung tuyến CM đi qua điểm cố định G
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
2
O
H
D
C
M
B
A
 Áp dụng t/c hai tiếp tuyến cắt nhau 
S
Do đó : (MH AB) 
Do MH OM nên 
 Chu vi chu vi 
Dấu = xảy ra MH = OM HO 
OM vuông góc với AB 
0.25.®
0.25 ®
0.25 ®
0.25 ®
1đ
5
Ta có .
Suy ra
 0.25 đ
1đ
Đặt 
suy ra 
0.25 đ
Suy ra 
 0.25 đ
0.25 đ
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
------------- Hết-------------