Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vòng 2 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 9-VÒNG 2
NĂM HỌC 2016- 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 05 câu, 01 trang).
Câu 1 (2,0 điểm):
Cho  ; với a; b > 0
 	Thu gọn biểu thức 
b) Cho các số a, b,c thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 2 (2,0 điểm) : Giải các phương trình sau:
	a) 
	b) 
Câu 3 (2,0 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho là một số nguyên.
Cho 3 số nguyên tố x< y < z liên tiếp thỏa mãn là một số nguyên tố. Chứng minh rằng cũng là một số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm) :
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có BE, CF là hai đường cao. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Gọi M là giao điểm của BC và OS.
Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS
Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC. Chứng minh NP vuông góc với BC.
Gọi H, K thứ tự là trung điểm của SB, SC ; I là điểm nằm giữa H và K. Qua I kẻ tiếp tuyến IQ với (O)(Q là tiếp điểm). So sánh IQ và IS.
Câu 5 (1,0 điểm): Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng:
Ghi chú: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
------------Hết------------
Giám thị 1: ..	Giám thị 2: ..
Họ và tên thí sinh:.. SBD: .
PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 9-VÒNG 2
NĂM HỌC 2016- 2017
MÔN: TOÁN
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0đ)
Với a > 0 thì
= 
= 
Tương tự với b > 0 thì 
Vậy với a; b > 0 thì 
0,25
0,25
0,25
0,25
b)(1,0 điểm): 
Đặt a + b + c = x
 2a + 2b + 2c – 3c = 2x – 3c;
2b + 2c – a = 2x – 3a ; 2c + 2a – b = 2x – 3b.
 S – 19 =
 =12+9(
S= 100
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(2,0đ)
a. Giải phương trình:
ĐKXĐ: 
 (T/m)
Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = 0
0,25
0,25
0,25
0,25
( 1,0điểm ) ĐK |x|
Đặt 
Ta có hệ
(Với )
Với y = 0 thì x = 1(do )
Với y thì x = (do )
Cả 2 giá trị của x đều thỏa mãn
Vậy PT có tập nghiệm S = 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2,0đ)
(1,0điểm) : 
 ( x + y + z ) ( xy + yz+ zx )
Mà ( y ; x) = ( x ; z)= 1 => y + z 
Tương tự ta cũng có x + z x + y 
Không mất tính tổng quát giả sử x
Vì y + z y + z = x hoặc y + z = 2x.
*)Nếu y + z = 2x mà x ; y ; z N*, đôi một nguyên tố cùng nhau
 x= y = z = 1
*) Nếu y + z = x y ≥ ≤ 2 và 1 < ≤ 3 ( do x ≥ y ≥ z)
+ ) Nếu x + z = 2y thì ( x ; y ; z) = ( 3 ; 2 ; 1)
+ ) Nếu x + z = 3y thì ( x ; y ; z) = ( 2 ; 1 ; 1)
Vậy các bộ nguyên dương cần tìm là ( 1 ; 1 ; 1) ;(3 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 1) và các hóan vị của chúng.
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Nếu x; y; z đều không chia hết 3 thì x2; y2; z2 chia cho 3 đều dư 1 
 chia hết cho 3 mà là hợp số. 
 Trong 3 số x; y; z có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà x; y; z là số nguyên tố có ít nhất 1 số là 3 và do x < y < z là 3 số nguyên tố liên tiếp
 (x; y; z) = (2; 3; 5); (3; 5; 7)
+ Xét (x; y; z) = (2; 3; 5)
 (Loại)
+ Xét (x ; y ; z) = (3 ; 5 ; 7)
 là số nguyên tố (T/mãn)
 là số nguyên tố.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3,0 đ)
a
a) (1,0đ):Chứng minh ( Sử dụng góc ngoài của tam giác)
Chứng minh OM^BC và OM là tia phân giác 
 . Lại Có . (Cùng phụ )
Þ DEAB đồng dạng với DMBS(g-g)Þ = = ( Vì MB = ME) (1)
Lại có + = =, 
 =( 2)
Từ (1) và (2) suy ra DAEM đồng dạng với DABS(c-g-c) 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
b) (1,0đ): Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có DAFM đồng dạng với DACS
 Ta có ( vì hai tam giác ABC và AEF đồng dạng)
Þ DAEN đồng dạng với DABP(g-g) Þ = (3)
 Ta có , Þ
Þ (Vì hai tam giác cân có hai góc ở đỉnh bằng nhau)
Þ DEMN đồng dạng với DBSP(g-g) Þ = (4)
 Từ (3) và (4) Þ = Þ NP // MS mà MS ^ BC nên NP^BC
0,25
0,25
0,25
0,25
c
c) Nối OQ, OI. Gọi D là giao điểm của OS và HK
 Có OQ ^ IQ; HK // BC; OS ^ BC Þ = 90 và DM = DS
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông OIQ, ODI, SID và hệ thức lượng trong tam giác vuông OSC; ta có:
 IQ - IS = OI - OQ -( ID + DS )
 = (ID + DO) - OQ - ID - DS = ID + DO - OQ - ID - DS
= DO - DS - OQ
 = ( OD + DS)(OD - DS)- OQ = OS.OM - OQ = OC - OQ = 0
 Từ đó IQ = IS nên IQ = IS 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1,0đ)
Đặt A =
Ta có 
 ( Vì a > 0)
Dấu «= »  xảy ra a = 1.
Tương tự ta có 
 A + +
A 
Sử dụng bđt ++)
A 
A 
A = 1 ó a = b =c = 1 
 Vậy A 
0,25
0,25
0,25
0,25