Đề thi chọn học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 9 cấp THCS ( Ngày thi 12-4-2017) - Năm học 2016-2017 - Sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

 Bài 1. (2,0 điểm) 
a) Cho 
3 10 6 3( 3 1)
x
6 2 5 5
 

 
. Tính giá trị của  
2017
2P 12x + 4x – 55 . 
b) Cho biểu thức 
2a 1 a a 1 a a a a 1
M
a a a a a a
    
  
  với a > 0, a  1. 
 Với những giá trị nào của a thì biểu thức 
6
N
M
 nhận giá trị nguyên? 
Bài 2. (2,0 điểm) 
a) Cho phương trình: 2 2x 2mx m m 6 0     (m là tham số). Với giá trị 
nào của m thì phương trình có hai nghiệm 1x và 2x sao cho 1 2x x 8  ? 
b) Cho hệ phương trình 
3 2 2 2 2
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0
.
y x y 3m
      

  
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt  1 1x ;y 
và  2 2x ;y thỏa mãn điều kiện   1 2 2 1x y x y 3 0    . 
Bài 3. (2,0 điểm) 
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho 2a + b chia hết cho 2a b 1 . 
b) Cho ba số th c a, b, c dương Chứng minh r ng: 
     
3 3 3
3 3 33 3 3
a b c
1
a b c b c a c a b
  
     
. 
Bài 4. (3,0 điểm) 
Cho ba điểm A, B, C cố định n m trên một đường thẳng d (điểm B n m 
giữa điểm A và điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm 
B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp 
tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt 
MN tại điểm K Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các 
điểm P và điểm Q (P n m giữa A và Q) 
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi 
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD 
cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME 
Bài 5. (1,0 điểm) 
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng 
của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 
102 thuộc tập hợp A Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A 
---------Hết--------- 
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
HẢI PHÒNG 
(Đề thi gồm 01 trang) 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ 
 CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi 12/4/2017 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
HẢI PHÒNG 
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ 
Năm học 2016 - 2017 
MÔN: Toán 9 
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) 
Chú ý: 
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. 
- Tổng điểm bài thi: 10 điểm . 
Bài Đáp án Điểm 
Bài 1 
(2 điểm) 
1a) (1,0 điểm) 
Ta có : 
   33 310 6 3 3 1 ( 3 1) 3 1    
0,25 
26 2 5 5 ( 5 1) 5    
0,25 
33
2
( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
x 2
15 1 5( 5 1) 5
    
   
  
0,25 
Thay giá trị của x vào P ta được: 
 
2017
2 2017P 12.2 4. 2 55 1 1     
0,25 
1b) (1,0 điểm) 
Với điều kiện a 0; a 1  thì: 
  
 
   
  
a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 1a 1
M
a a a 1 a a 1 a 1
      
  
  
 
2
a 1a 1 a a 1 a a 1
M
a a a a
    
    
0,25 
Khi đó
 
2
6 6 a
N 0
M a 1
  

Ta thấy với 0 a 1 a a 1 0     
  
 
2
2
6 a
a 1 3 a 2
a 1
    

0,25 
Do 0 N 2 
 Để N có giá trị nguyên thì N = 1. 
0,25 
 
6 a
1
a 2 a 1

   a 4 a 1 0   
 
 
2 a 3 2 a 7 4 3 ( )
a 2 3
a 3 2 a 7 4 3 ( )
    
    
      
tháa m·n
tháa m·n
0,25 
Vậy a 7 4 3.  
Bài 2 
(2 điểm) 
2a) (1,0 điểm) 
Phương trình: 
2 2x 2mx m m 6 0     có hai nghiệm thì: 
  2 2' m m m 6 m 6 0 m 6           . 
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 
1 2
2
1 2
x x 2m
x x m m 6
 

  
0,25 
Ta có: 
 
2 2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
x x 8 x x 2 x x 64
x x 2x x 2 x x 64 (1)
     
    
0,25 
Trường hợp 1: 
Nếu 1x và 2x cùng dấu thì: 
  1 2 2
m 6
x x 0
m m 6 m 2 m 3 0
 
  
     
6 m 2
m 3
   
  
 (*) 
Khi đó (1)  
2 2
1 2x x 64 4m 64 m 4        (thỏa mãn (*)). 
0,25 
Trường hợp 2: 
Nếu 1x và 2
x
trái dấu thì: 
  21 2x x 0 m m 6 m 2 m 3 0 2 m 3            (**) 
Khi đó (1)    2 2 21 2 1 2x x 4x x 64 4m 4 m m 6 64         
m 6 16 m 10     (không thỏa mãn điều kiện (**). 
Kết luận: m 4  
0,25 
2b) (1,0 điểm) 
3 2 2 2 2
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0 (1)
y x y 3m (2)
      

  
Ta có 
3 2 2 2 2(1) x y x y 2x y 2xy 3x 3 0       
 
   
2 2
2
(x 1) x y 2xy 3 0
x 1
xy 1 2 0
    

 
   V« lý
0,25 
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được 2y y 3m 1 0 (3)    
Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì: 
 
1
1 4 3m 1 0 12m 3 0 m
4
          
0,25 
Theo đề bài:   1 2 2 1 1 2 1 2x y x y 3 0 4 y y y y 0 (4)         
do 1 2x x 1  . 
0,25 
Với 
1
m
4
 theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có : 
1 2
1 2
y y 1
y y 1 3m
 

 
 thay vào (4) ta có: 5 1 3m 0 m 2     (thỏa mãn) 
Kết luận: m = 2 
0,25 
Bài 3 
(2 điểm) 
3a) (1,0 điểm) 
Ta có (a + b
2
)  (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k  * 
 a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với 
2 *m ka – b  
 m + b = ka2 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: 
2mb m b 1 a k ka 1       
 (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3) 
Do   *m, b m –1 b –1 0   
Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka)  0. 
0,25 
Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka  0  1  k(a – 1) 
Vì a – 1  0, k > 0 nên    1 k a –1 0 k a –1   vµ 
a 1
k(a 1) 0
a 2
k(a 1) 1
k 1

  
       
0,25 
Với a = 1 Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2. 
 
2
2
m 1 2
b 1 1 b 2 k.a 5 a 1
b 3 k.a 5 a 1m 1 1
b 1 2
  

                
 
Vậy, trường hợp này ta được hai cặp a = 1; b = 2 và a = 1; b = 3 
0,25 
Với a = 2 và k = 1 Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0  
b 1
m 1

 
. 
Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1 
Khi m = 1: từ (1) suy ra a + k = b  b = 3. 
Khi đó: a = 2, b = 3 
Vậy có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1) 
0,25 
3b) (1,0 điểm) 
Với x là số dương, áp d ng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
  
2 2
3 2 x 1 x x 1 x 2x 1 x 1 x x 1
2 2
    
       
3 2
1 2
(*)
x 1 x 2
 
 
Dấu = xảy ra khi x = 2 
0,25 
Áp d ng bất đẳng thức (*) ta được: 
0,25 
   
3 2
3 3 2 23 2
a 1 2 2a
a b c b c 2ab c b c
1 2
a a
  
       
    
   
Suy ra: 
   
3 2 2
3 2 2 22 2 23
a 2a a
(1)
a b c2 b c 2aa b c
 
   
Tương t ta có: 
 
3 2
3 2 2 23
b b
(2)
a b cb a c

  
 
3 2
3 2 2 23
c c
(3)
a b cc a b

  
0,25 
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 
     
3 3 3
3 3 33 3 3
a b c
1
a b c b a c c a b
  
     
Dấu = xảy ra khi a = b = c 
0,25 
Bài 4 
(3 điểm) 
Hình vẽ: 
4a) (1,5 điểm) 
Gọi I là trung điểm của BC suy ra IO BC 
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB ACN , CAN chung) 
AB AN
AN AC
  AB.AC = AN2 . 
0,50 
ANO vuông tại N, đường cao NH nên AH AO = AN2 
AB.AC = AH.AO (1) 
0,25 
AHK đồng dạng với AIO (g.g) 
Nên 
AH AK
AI AK AH AO
AI AO
     (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
AB AC
AI.AK AB.AC AK
AI

   
0,5 
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi 0,25 
d
E
DH
K
QP
N
M
I
A
B
C
O
Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB 
 K cố định (đpcm) 
4b) (1,5 điểm) 
Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) 
ME MH
MQ DQ
  0,50 
 PMH đồng dạng MQH (g.g) 
MP MH MH
MQ QH 2DQ
   0,50 
MP 1 ME
.
MQ 2 MQ
   ME = 2 MP  P là trung điểm ME. 0,50 
Bài 5 
(1 điểm) 
Bài 5 (1,0 điềm) 
Giả sử A = 1 2 3; 21a ;a ;a ...;a với 1 2 3; 21a ; a ; a ...; a  và 
1 2 3 21a a a ... a    . 
Theo giả thiết ta có 1 2 3 11 12 13 21a a a ... a a a ... a        
1 12 2 13 3 21 11a a a a a ... a a (1)        
0,25 
Mặt khác với x;y Z và nếu y x thì y x 1  
12 2 13 3 21 11a a 10, a a 10,...,a a 10 (2)       
Nên từ (1) suy ra 1a 10 + 10 + ... +10 = 100 
mà 1a nhỏ nhất và 101 A  1a =101 
Ta có 12 2 13 3 21 11101 a a a a ... a a 100       
12 2 13 3 21 11a a a a ... a a 100        . 
0,25 
Kết hợp với (2) 
12 2 13 3 21 11a a a a ... a a 10 (3)       
12 2 12 11 11 10 3 210 a a (a a ) (a a ) ... (a a ) 10           
12 11 11 10 3 2a a a a ... a a 1        (4) 
Ta có 1a =101 mà 2102 A a 102   
0,25 
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A = 101;102;103;...;121 . 0,25 
--------------- Hết ------------------