Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Bình Định môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: 
1) Chứng minh 6 4 22n n n  chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 
2) Cho ba số phân biệt , ,a b c . Đặt: 
     
2 2 2
9 , 9 , 9x a b c ab y a b c bc z a b c ac            . 
Chứng minh rằng trong ba số , ,x y z có ít nhất một số dương. 
Câu 2: 
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:     2 1 9 1 13x y x y y      
2) Giải phương trình: 2 2018 2018x x   
Câu 3: 
1) Cho ba số , ,a b c không âm thỏa mãn điều kiện:  2 2 2 2a b c ab bc ca     và 
, ,p q r là ba số thỏa mãn: 0p q r   . Chứng minh rằng: 0apq bqr crp   . 
2) Cho các số dương ,a b thỏa mãn . 1a b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
  2 2
4
1M a b a b
a b
    

Câu 4: 
1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H. 
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính 
AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại 
M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp. 
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên 
các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: 
a) DE có độ dài nhỏ nhất. 
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 
STT 07. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH 
NĂM HỌC 2017-2018 
Câu 1: 
1) Chứng minh 6 4 22n n n  chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương. 
2) Cho ba số phân biệt , ,a b c . Đặt: 
     
2 2 2
9 , 9 , 9x a b c ab y a b c bc z a b c ac            . 
Chứng minh rằng trong ba số , ,x y z có ít nhất một số dương. 
Lời giải 
1) Ta có:       
26 4 2 6 4 4 2 4 2 2 22 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n n               
Đặt   1 1A n n n   , ta có 
2
3
A
A



 và  2,3 1 6A   
2
1 1 36n n n     
(đpcm) 
2) Ta có: 
         
2 2 2 2
9 9 9 3 9x y z a b c ab a b c bc a b c ac a b c ab bc ca                   
       
2 2 22 2 2 33
2
a b c ab bc ca a b b c c a                
Vì , ,a b c là ba số phân biệt nên      
2 2 23
0 0
2
a b b c c a x y z          
 
. 
Do đó trong ba số , ,x y z phải có ít nhất một số dương. 
Câu 2: 
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:     2 1 9 1 13x y x y y      
2) Giải phương trình: 2 2018 2018x x   
Lời giải 
1) Ta có:      2 22 1 9 1 13 2 2 9 9 13 0x y x y y x xy x xy y y y                
           2 22 2 6 3 5 5 15 7 2 3 3 5 3 7x xy x xy y y x y x x y y x y x y                  
  3 2 5 7x y x y      
+ TH1: 
10
3 1 2 3
2 5 7 2 12 16
3
x
x y x y
x y x y
y

       
   
       

 (loại) 
+ TH2: 
10
3 7 4 3
2 5 1 2 6 2
3
x
x y x y
x y x y
y

      
   
        

 (loại) 
+ TH3: 
3 1 4 2
2 5 7 2 2 2
x y x y x
x y x y y
          
   
         
 (thỏa mãn) 
+ TH4: 
3 7 10 2
2 5 1 2 4 8
x y x y x
x y x y y
          
   
        
 (thỏa mãn) 
Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên  ;x y là:  2;2 ,  2;8 . 
2) ĐKXĐ: 2018x   , đặt 2018x t  , , 0t  2 2018t x   
 Ta có   2 2 2
0
2018 2018 1 0
1
x t
x x x t t x x t x t
x t
 
               
+ TH1: 
20 2018 0 1 3 897
2018 0 22018 0
x t x x
x
x x
      
   
      
+ TH2: 
21 2017 0 1 8069
1 21
x t x x
x
x x
       
   
    
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
1 3 897
2
x

 ; 
1 8069
2
x
 
 . 
Câu 3: 
1) Cho ba số , ,a b c không âm thỏa mãn điều kiện:  2 2 2 2a b c ab bc ca     và 
, ,p q r là ba số thỏa mãn: 0.p q r   Chứng minh rằng: 0apq bqr crp   . 
2) Cho các số dương ,a b thỏa mãn . 1a b  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
  2 2
4
1M a b a b
a b
    

Lời giải 
1) Từ gt:    
22 2 2 2 4 | | 2a b c ab bc ca a b c bc a b c bc             
Lại có: 0p q r r p q      
       2 2 2 2apq bqr crp apq bq p q cp p q apq bpq bq cpq cp pq a b c bq cp                   
Ta có:  2 2 | | 2 | || |bq cp pq bc pq a b c pq a b c        
   2 2 0pq a b c bq cp       0apq bqr crp   (đpcm). 
2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: 2 2 2 2a b ab   
    2 2
4 4 4
1 1 .2 2M a b a b a b a b a b
a b a b a b
 
                
   
 
4
2 . 2 2 2.2 2 2 8a b ab
a b
       

. Dấu “=” xảy ra khi 1a b  . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 khi 1a b  . 
Câu 4: 
1) Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H. 
a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính 
AH cắt đoạn thẳng IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại 
M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
tại Q. Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp. 
2) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên 
các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: 
a) DE có độ dài nhỏ nhất. 
b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 
Lời giải 
 1. a) Ta có: BDH BEC∽ (g-g) 
BD BH
BE BC
   BH.BE = BC.BD (1) 
 BEC ADC ∽ (g.g) 
BC CE
=
CDAC
  BC.CD = CE.AC (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BH.BE.BC.CD = BC.BD.CE.AC  AC.BD.CE = 
BE.CD.BH (đpcm). 
b) Ta có: 0AEH = AFH 90  Tứ giác AEHF nội tiếp 
Ta có: 
1
2
IE IF AH  ; 
1
2
JE JF BC  IEJ IFJ  (c-c-c) 
2 2
KIE KIF
JIE JIF KIE KIF KAE KAF MAC M MC MBAB           
BDQ MBC BM MABQ BAQ QAP      Tứ giác 
AQDP nội tiếp. 
2. a) Kẻ  AH BC H BC  , qua D kẻ 
 DK AB K BC  
0 090 45DKB ABC    BDK vuông cân tại D. 
BD DK AE    Tứ giác ADKE là hình chữ nhật. 
DE AK  . 
Ta có: AK AH DE AH   . Vậy DE nhỏ nhất khi 
K H khi đó D là trung điểm của AB và E là trung 
điểm AC. 
b) 
Q
P
M
K
J
I
F
H
E
D
A
B C
E
K
H
C
B
A
D
Đặt AB AC a  ,  0a  ; BD AE x   AD a x  
Ta chứng minh BĐT: Với mọi a, b ta luôn có:  
2
a + b 4ab (*) 
Thật vậy: (*)  
2
a b 0   (BĐT luôn đúng). 
Áp dụng (*) ta có:    
2
2
ADE
1 1 1 a
S = AD.AE = a x x a x x
2 2 8 8
       
2
ABC
1 a
S = AB.AC =
2 2
. Do đó: 
2 2 2
BDEC ABC ADE
a a 3a
S S S
2 8 8
     không đổi. 
Dấu “=” xảy ra khi 
2
a
a x x x    . Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất là 
2 23a 3AB
8 8
 khi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.