Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 15 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T15
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức A =
a) Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A = .
b) Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao?
Câu 2 : (2,0 điểm) Chứng minh rằng:
a) 
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 và c >0. 
 b) Biểu thức B = có giá trị là một số nguyên.
Câu 3 : (2,0 điểm)
	a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 ( 3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
a) Chứng minh : 
b) Biết, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tính .
c) Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (PIK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5 ( 1,0 điểm)
	a) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh : 9 
	 b) Cho a ,b, c dương và a2+b2+c2=3
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
----------------- Hết-----------------
PHÒNG GDĐT HUYỆN GIA LỘC
 TRƯỜNG THCS YẾT KIÊU
MÃ ĐỀ
T-05-HSG-9-YK-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2 điểm)
a. (1,0 điểm)
- Nêu đúng điều kiện: x >0, x 1, x 
- Rút gọn đến A = 
0,25điểm
 - Rút gọn được kq: A = 
0,25điểm
- Đưa về được pt: = 0 
0,25điểm
 - Giải được x = , x = 4
 - Kết luận: Giá trị x cần tìm là: x = 4( TMĐK)
0,25điểm
b. (1,0 điểm)
- Vì x > 0, Nên ta có A =
0,25điểm
 Mà > 1 (vì x 1) 
0,25điểm
nên < 1
0,25điểm
 - Vậy biểu thức A không có giá trị lớn nhất.
0,25điểm
2
(2,0 điểm)
a. (1,25 điểm)
Ta có: .
. (c > 0 theo (gt))
0,25điểm
Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.
0,25điểm
Mặt khác 
(Vì a >b>0) 
0,25điểm
Chứng minh tương tự cho trường hợp: .
0,25điểm
 Vậy (đpcm).
0,25điểm
b. (0,75 điểm)
b) Biến đổi đưa về được bình phương của 1 biểu thức trong căn 
 B = 
0,5điểm
B = 2015 . Vậy B là một số nguyên
0,25điểm
3
(2,0 điểm)
a. (1,0 điểm)
PT: (1)
ĐKXĐ: 2 Chứng minh được:
0,25điểm
Dấu “=” xảy ra x – 2 = 6 – x x = 4
0,25điểm
Dấu “=” xảy ra (x – 4)2 = 0 x - 4 = 0 x = 4
Phương trình (1) xảy ra x = 4
0,25điểm
Giá trị x = 4 : thỏa mãn ĐKXĐ Vậy: 
0,25điểm
b. (1,0 điểm)
Điều kiện: 
Giải (2) ta được:
Thay xy = 2 vào (1) ta được x + y = 3 (5)
0,25điểm
 Từ (5) và (3) ta được: ( thoả mãn ĐK)
0,25điểm
Thay xy = vào (1) ta được x + y = (6)
Từ (6)và(4) ta được:(thoả mãn ĐK)
0,25điểm
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: 
0,25điểm
4
(3,0 điểm)
Vẽ hình đúng
0,25điểm
a. (0,75 điểm)
Ta có
0,25điểm
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có:
 . và AB = AD
0,25điểm
Từ (1) và (2) 
b. (1,0 điểm)
b) Kẻ AH vuông góc với MN . 
Do CM + CN = 7 và CN - CM= 1cm 
 CN = 4cm; CM= 3cm, MN = 5 cm
0,25điểm
Ta có 
mà 
0,25điểm
Ta lại có : và CM + MB = CN + ND 
 CN - CM = MB - ND =1
 DN = 2cm; BM =3cm; BC = AD = AH = 6 cm 
0,25điểm
-Tan AMH = = 2 => góc AMH = 63026’ 
 Hay góc AMN = 26034’.
0,25điểm
c. (1,0 điểm)
Tõ gi¶ thiÕt ta cã AQOR lµ h×nh ch÷ nhËt
0,25điểm
Mà 
0,25điểm
=> 
0,25điểm
 nhá nhÊt khi O lµ trung ®iÓm cña AD.
0,25điểm
5
(1,0 điểm)
a. (0,5 điểm)
Từ A và O kẻ AH BC; OK BC (H, K BC)
 AH // OK Nên (1) 
 (2)
0,25điểm
(1) , (2) Tương tự :
 Nên (3)
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
 (a+ b + c) ( ) 9 Nên (4) Từ (3) ,(4) suy ra : (đpcm)
0,25điểm
b. (0,5 điểm)
b) Ta có: 
 (1)
 (2)
 (3)
0,25điểm
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
 (4)
Vì a2+b2+c2=3
Từ (4) vậy giá trị nhỏ nhất khi a = b = c = 1. 
0,25điểm