Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh môn Toán Lớp 9 - Đề 16 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT TPHD
T16
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
MÔN: TOÁN 
Năm học 2014 - 2015
Thời gian làm bài:150 phút
( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho a và b là các số thỏa mãn .
Chứng tỏ rằng 
Câu 2 (2 điểm).
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (2 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình .
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9. 
Câu 4 (3 điểm).
Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .
1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường thẳng .
2. Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng và đồng quy.
Câu 5 (1 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------Hết------------------------
Họ và tên thi sinh..số báo danh...
Chữ ký của giám thị 1..chữ ký của giám thị 2
PHÒNG GD&ĐT GIA LỘC
TRƯỜNG THCS HOÀNG DIỆU
MÃ ĐỀ
T-06-HSG9-HD-PGDGL
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
MÔN: TOÁN 9
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2,0 điểm )
a. (1,0 điểm)
 với 
0.25
0.25
0.25
Vậy A với 
0.25
b. (1,0 điểm)
0.25
* Với a = b, kết hợp với , suy ra a = b = 0
Do đó 
0.25
* Với . 
Khi đó 
0.25
Vậy với 
0.25
2
(2,0 điểm )
a. (1,0 điểm)
0.25
Chia cả hai vế cho và đặt (y > 0)
 Ta được phương trình 
0.25
Với ta có 
0.25
 Kết luận nghiệm của phương trình là x = 1
0.25
b. (1,0 điểm)
0.25
Giải PT (2) ta được xy = 3 hoặc xy = 5
0.25
0.25
 Hệ này vô nghiệm
Vậy HPT có hai nghiêm (x; y) là (1; 3) và (3; 1)
0.25
3
(2,0 điểm )
a. (1,0 điểm)
Viết (1) thành PT bậc hai đối với x : x2 – (y + 1)x + (y2 – y) = 0 (2)
Điều kiện cần để (2) có nghiệm là r 0. 
0.25
r = (y + 1)2 – 4(y2 – y) = y2 + 2y + 1 – 4y2 + 4y = -3y2 + 6y + 1.
r ³ 0 3y2 – 6y – 1 0 3(y – 1)2 4.
Do đó (y – 1)2 1. Suy ra :
y – 1
-1
0
1
y
0
1
2
0.25
Với y = 0, thay vào (2) được x2 – x = 0. Ta có x1 = 0 ; x2 = 1.
Với y = 1, thay vào (2) được x2 – 2x = 0. Ta có x3 = 0 ; x4 = 2.
Với y = 2, thay vào (2) được x2 – 3x + 2 = 0. Ta có : x5 = 1 ; x6 = 2.
0.25
Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng phương trình (1).
 Đáp số : (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2)
0.25
b. (1,0 điểm)
Giả sử tồn tại số tự nhiên n để chia hết cho 9
Đặt A = . Vì nên (1)
0.25
Ta có 
Vì nên 
 (2)
0.5
Ta thấy (1) và (2) mâu thuẫn nhau. Vậy điều giả sử ở trên là sai
Vậy với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9
0.25
4
(3,0 điểm )
a. (2,0 điểm)
0,25
Ta có đồng dạng với 
0,25
suy ra 
hay tứ giác nội tiếp.
0,5
Ta có 
 và tam giác cân tại nên 
0,5
Do đó ta được 
0,5
b. (1,0 điểm)
Gọi là giao điểm của và .
Ta có thẳng hàng và song song với (1). Mặt khác tam giác cân tại , tam giác cân tại và kết hợp với (1) ta được suy ra thẳng hàng. Tương tự ta có thẳng hàng.
0,5
Do là đường kính của đường tròn suy ra 
 là trực tâm của tam giác suy ra đi qua hay ba đường thẳng đồng quy.
0,5
Câu 5:
(1,0 đ)
Theo bất đẳng thức Cauchy thì 
0.25
Từ giả thiết ta có 
0.25
Đặt 
0.25
Vì M > 0 thì M + 2 > 0, nên M 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4 khi và chỉ khi a = b = c = 
0.25
Lưu ý khi chấm bài:
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.