Đề thi chọn HSG lớp 12 THPT dự thi cấp Quốc gia năm học 2011 - 2012 môn Toán - Tỉnh Đồng Tháp

 1/1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỒNG THÁP 
_______________________
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT DỰ THI CẤP QUỐC GIA 
NĂM HỌC 2011 - 2012 
_____________________________________________
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 
Ngày thi: 30/10/2011 
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) 
(Đề thi gồm có: 01 trang) 
Câu 1: (5 điểm) 
1) Cho , , , , 0a b x y z > và 1x y z+ + = . Chứng minh rằng: 
44 4
4
 3( 3 )b b ba a a a b
x y z
    
+ + + + + ≥ +    
    
2) Giải hệ phương trình 
2 4 2 5 2 2
2 2 3 2
9 8 (16 3 1)
1 16 ( 2 ) (5 )
x y x y y y x y
x y x y x y
 + − = − +

+ + − = − +
Câu 2: (4 điểm) 
Cho a là số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm * *:f →ℕ ℕ thoả mãn: 
 ( ) ( )( )f m f n n f m a+ = + + , *,m n∀ ∈ℕ 
Câu 3: (5 điểm) 
1) Cho đường tròn (C) bán kính R = 1 , A là một điểm cố định trên đường tròn (C), vẽ 
tiếp tuyến với (C) tại A, trên tiếp tuyến đó lấy một điểm M sao cho AM = 1 . Một đường thẳng 
d quay quanh M cắt (C) tại B, C. Đặt AMB = α . 
a) Tính diện tích tam giác ABC theo α ; 
b) Tìm α để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. 
2) Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ , trên đó lấy một điểm A cố định. Hai điểm B, C 
thay đổi sao cho AB= 5 , AC = 3 và đường thẳng ∆ là phân giác của góc BAC . Tìm tập hợp 
điểm M để ABMC là hình bình hành. 
Câu 4: (3 điểm) 
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên x, y không chia hết cho 2011 và thoả mãn: 
2 28043 4.2011nx y+ = ( )*n N∀ ∈ 
Câu 5: (3 điểm) 
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau dạng abcdefg thỏa mãn điều 
kiện số đó không có dạng ( a b c d > > ). HẾT 
Họ và tên thí sinh: ________________________ Số báo danh: ___________________________ 
Chữ ký GT1:_____________________________ 
Chữ ký GT2:____________________________ 
ĐỀ CHÍNH THỨC