Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 16-10-2013) - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP 
HUYỆN 
NĂM HỌC 2013 - 2014 
Môn: Toán 9 
Sưu tầm: Phạm Văn Cát 
THCS Cẩm Định Cẩm Giàng 
HD 
Thời gian làm bài:150 phút 
(Đề thi gồm 01 trang 
Ngày thi 16-10-2013 
Câu 1( 2 điểm) 
a)Cho biểu thức: A = (x2 - x - 1 )2 + 2013 
Tính giá trị của A khi x = 
3 3
3 1 1 3 1 1

   
 b) Cho (x + 2 2013x  ).(y + 2 2013y  )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0 
Câu 2 ( 2 điểm) 
 a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) 2 1x  
b) Chứng minh 2
a b c
b c a c b a
  
  
, với a, b, c>0 
Câu 3 ( 2 điểm) 
a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức 
x2+10x+21 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 
Câu 4 ( 3 điểm) 
 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt 
là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: 
a) DE2=BH.HC 
b) AH3=BC.BD.CE 
 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh 
Â
sin
2
a
b c


Câu 5( 1 điểm) 
Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: 
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
    
     
.................... Hết ............... 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 
Câu Nội dung Biểu 
điểm 
1 a) 
b) 
x =
3 3
3 1 1 3 1 1

   
 = 
3( 3 1 1) 3( 3 1 1)
3 1 1
    
 
= 
3( 3 1 1 3 1 1) 2 3
2
3 1 1 3
    
 
 
Thay x = 2 vào biểu thức A ta có: 
A = (2
2
 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014 
Vậy khi x = 
3 3
3 1 1 3 1 1

   
 thì giá trị của biểu thức A là 2014 
----------------------------------------------------------------------------------- 
(x + 2 2013x  ).(y + 2 2013y  )=2013 
(x - 2 2013x  )(x + 2 2013x  ).(y + 2 2013y  )=2013(x - 2 2013x  ) 
-2013.(y + 2 2013y  )=2013(x - 2 2013x  ) 
-y - 2 2013y  =x - 2 2013x  
Tương tự: -x - 2 2013x  = y - 2 2013y  
x+y =0x =-y  x
2013
+ y
2013
=0 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 a) 
b) 
x
2
+ 5x +1 = (x+5) 2 1x  
x
2
+1 + 5x = (x+5) 2 1x  
x
2
+1 + 5x - x 2 1x  - 5 2 1x  =0 
2 1x  ( 2 1x  -x) +5(x- 2 1x  )=0 
 ( 2 1x  -x) ( 2 1x  - 5) = 0 
( 2 1x  -x) = 0 hoặc ( 2 1x  - 5) = 0 
2 1x  =x hoặc 2 1x  = 5 
x
2
+ 1 = x
2
 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25 
x
2
 = 24 
x = 24 
Vậy nghiệm của PT là x = 24 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 3 
Ta có ( )
2
b c a
b c a
 
 
( )
2
b c ab c a
a a
 
  
2
b c a b c
a a
  
  
2a a
b c a b c

  
Tương tự: 
2b b
a c a b c

  
, 
2c a
b a a b c

  
2( )
2
( )
a b c a b c
b c a c b a a b c
 
   
    
Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có) 
Vậy 2
a b c
b c a c b a
  
  
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
4 a) 
b) 
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) +2013 
=( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013 
=( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21 
= y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998 
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998 
 A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 
 = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014 
Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0 
0,5 
0, 5 
0,5 
0,5 
5 
a) 
b) 
Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH AB, HE AC 
Tứ giácADHE có DAE =90 0, ADH =90 0, AEH =90 0 
Tứ giácADHE là hình chữ nhật 
AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC 
Ta có AH2=BH.HC  AH3=BH.HC.AH 
AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC 
AH3=BC.BD.CE 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
E
D
CHB
A
Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC 
Ta có 
BD DC
AB AC
 
BD DC
AB AC
 =
BD DC CB a
AB AC AB AC b c

 
  
Vẽ BI AD BI  BD 
Ta có 
Â
sin
2
BI
AB
 
Â
sin
2
BD
AB AC


. Vậy 
Â
sin
2
a
b c


0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
6 
 Với 0, 0x y  ta có 2( ) 4x y xy  
1 1 4
x y x y
 

 
1 1 1 1
4x y x y
 
  
  
(I) 
a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0, 
Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có: 
1 1 4 2
a b c a c b a b c a c b a
  
        
Tương tự: 
1 1 4 2
b a c b c a c b a a b c b
  
        
1 1 4 2
c b a c a b c b a c a b c
  
        

1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
    
     
 (đpcm) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
B
I
D
C
A